Université de Caen 1^{er} semestre 2012-2013 UFR Sciences Mathématiques L3 Maths Espaces métriques

Topologie

Exercice 1. Dire si les sous-ensembles suivants de ℝ^{2} sont ouverts, fermés, ou ni l’un ni l’autre, en justifiant :

a. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ 1} b. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y^{2} − x^{2} = 1}

c. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y^{2} − x^{2} ≤ 1 et x^{2} + y^{2} < 2} d. ([2, 3] ∪ {0}) × [−1, 1]

e. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | sin(x^{2} + y^{2}) ≥ 0} f. ℤ × (ℝ \ ℤ)

g. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ≥ 1, y ≤ 2 et x − y ≥ 0} h. {(cos t, sin t) | t ∈ ℝ}

i. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} < 1} ∪ {(1, 0)} j. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{3} + x^{2}y + xy^{2} + y^{3} − (x^{2} + y^{2}) = 0}

Montrer que le dernier ensemble est encore fermé lorsqu’on lui enlève le point (0, 0).

Exercice 2. (partiel 2011-2012) On considère le sous-ensemble suivant de ℝ^{2} : A = \{x ∈ ℝ | sin(exp(x)) > \frac{1}{2}\}.

a. Exprimer A comme image réciproque d’un intervalle et en déduire que A est ouvert. Pour tout réel x on note E(x) la partie entière de x, et F (x) = x − E(x) la partie fractionnaire de x. On considère le sous-ensemble B = \{x ∈ ℝ | F (exp(x)) > \frac{1}{2}\} ⊂ ℝ.

b. Soit k ∈ ℤ un entier relatif fixé.

Montrer que le sous-ensemble B_{k} = \{x ∈ ℝ | k + \frac{1}{2} < exp(x) < k + 1\} est ouvert. c. Montrer avec soin que B = ⋃_{k∈ℤ} B_{k}. Montrer que B est ouvert.

Pourquoi ne peut-on pas procéder comme à la question 1 ?

Exercice 3. Déterminer la frontière, l’adhérence et l’intérieur des sous-ensembles suivants de ℝ^{n} :

a. ]0, 1] ⊂ ℝ b. ℚ ⊂ ℝ

c. {(x, y) | x^{2} ≤ y < x + 2} ⊂ ℝ^{2} d. {(cos t, sin t)} ⊂ ℝ^{2}

e. {n^{−1} | n ∈ ℕ^{∗}} ⊂ ℝ f. {(t, sin(1/t)) | t ∈ ℝ_{+}^{∗}}

Exercice 4. On se place dans E = ]−∞, 0] ∪ [1, 2] ∪]3, +∞[, muni de la distance induite par la distance usuelle de ℝ. On note B_{o} = B(1, 1) (resp. B_{f} = B̄(1, 1)) la boule ouverte (resp. fermée) de centre 1 et rayon 1.

a. Expliciter les sous-ensembles suivants de ℝ :

B_{o}, ^{∘} B_{o}, \overline{B_{o}}, B_{f}, \overline{B_{f}}, ^{∘} B_{f}, Fr B_{o}, Fr B_{f}.

Maintenant E est un espace vectoriel normé. On fixe a ∈ E, r > 0 et on note B_{o} = B(a, r) (resp. B_{f}(a, r)) la boule ouverte (resp. fermée) de centre a et rayon r.

b. Montrer que \overline{B_{o}} = B_{f} et ^{∘} B_{f} = B_{o}.

Exercice 5. Soit E un espace vectoriel normé et A, B ⊂ E.

a. Montrer que le complémentaire de ^{∘} A est la fermeture de ^{c}A.

Montrer que le complémentaire de \overline{A} est l’intérieur de ^{c}A.

b. (i) Montrer que Fr \overline{A} ⊂ Fr A et Fr ^{∘} A ⊂ Fr A.

(ii) Donner un exemple où les inclusions précédentes sont strictes. c. (i) Montrer que \overline{A ∩ B} ⊂ \overline{A} ∩ \overline{B}.

(ii) Donner un exemple où l’inclusion précédente est stricte.

(iii) Montrer qu’il y a égalité lorsque Fr A ∩ Fr B = ∅.

Exercice 6. Soit (E, d) un espace métrique et A ⊂ E non vide.

a. Montrer que |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y) pour tous x, y ∈ E.

En déduire que l’application d_{A} : E → ℝ, x ↦ d(x, A) est continue. b. On note A_{r} = {x ∈ E | d(x, A) < r}. Montrer que A_{r} est ouvert. Déterminer ⋂_{r>0} A_{r} en fonction de A.

Montrer que tout fermé de E est intersection dénombrable d’ouverts. c. Soit F_{1}, F_{2} deux fermés disjoints de E. En considérant l’application (x ↦ d(x, F_{1}) − d(x, F_{2})), montrer qu’il

existe deux ouverts disjoints O_{1} et O_{2} tels que F_{1} ⊂ O_{1} et F_{2} ⊂ O_{2}.

Exercice 7. (rattrapage 2011-2012) On considère E = ℝ^{n}, muni du produit scalaire et de la norme usuels. On fixe une base (u_{1}, …, u_{n}) de ℝ^{n} et on définit N : L(E) → ℝ_{+} en posant N(f) = ∑_{i=1}^{n} ∥f(u_{i})∥.

a. Montrer que N est une norme sur L(E). Dans la suite L(E) est muni de cette norme.

b. On fixe v ∈ E. Montrer que F_{v} = {f ∈ L(E) | v · f(v) ≥ 0} est un fermé de L(E).

c. On note L(E)_{+} l’ensemble des applications linéaires f ∈ L(E) telles que v · f(v) ≥ 0 pour tout v ∈ E. Montrer

que L(E)_{+} est un fermé de L(E). d. On note B = {f ∈ L(E) | ∑_{i=1}^{n} ∥f(u_{i})∥ ≤ 1}, et B_{+} = B ∩ L(E)_{+}.

Montrer qu’il existe deux constantes m, M ∈ ℝ telles que m ≤ det(f) ≤ M pour toute f ∈ B_{+}.

Exercice 8. On munit M_{n}(ℝ) de la norme ∥(m_{ij})_{ij}∥ = max_{i,j} |m_{ij}|. Rappelons qu’on note GL_{n}(ℝ) ⊂ M_{n}(ℝ) le sous-ensemble des matrices inversibles.

a. Montrer que l’application déterminant det : M_{n}(ℝ) → ℝ est continue.

b. Montrer que GL_{n}(ℝ) est un ouvert de M_{n}(ℝ).

c. Soit A ∈ M_{n}(ℝ) une matrice. Montrer qu’à partir d’un certain rang k, la matrice A − k^{−1}I_{n} est inversible.

On pourra raisonner par l’absurde, et utiliser le fait que A ne peut avoir qu’un nombre fini de valeurs propres. d. Montrer que GL_{n}(ℝ) est dense dans M_{n}(ℝ). e. Application. On admet que la fonction qui à A ∈ M_{n}(ℝ) associe χ_{A} ∈ ℝ[X]_{n} est continue.

(i) Montrer que χ_{AB} = χ_{BA} si A est inversible.

(ii) En déduire que χ_{AB} = χ_{BA} pour toutes matrices A, B ∈ M_{n}(ℂ).

Exercice 9. (examen 2011-2012) On fixe un entier naturel n ∈ ℕ^{∗} et on note SL_{n}(ℝ) ⊂ M_{n}(ℝ) le sous-ensemble des matrices dont le déterminant est égal à 1. On munit M_{n}(ℝ) de la norme ∥(a_{ij})_{ij}∥ = max_{ij} |a_{ij}|.

a. Montrer que SL_{n}(ℝ) est un fermé de GL_{n}(ℝ).

b. On fixe A ∈ SL_{n}(ℝ). Calculer det(tA) pour tout t > 0.

Dire pourquoi l’application f : ℝ_{+}^{∗} → M_{n}(ℝ), t ↦ tA est continue. c. Montrer que le complémentaire de SL_{n}(ℝ) est dense dans M_{n}(ℝ). d. SL_{n}(ℝ) est-il compact ?

Exercice 10. On considère E = C^{1}([−1, 1] , ℝ) muni de la norme de la convergence uniforme.

a. Soit f ∈ E une fonction telle que ∀g ∈ E ∫_{−1}^{1} fg = 0. Montrer que f = 0.

b. Montrer que φ : E → ℝ, f ↦ f′(0) n’est pas continue.

c. Montrer que F = {f ∈ E | f′(0) = 0} est dense dans E.

d. Soit f ∈ E une fonction telle que ∀g ∈ F ∫_{−1}^{1} fg = 0. Montrer que f = 0.

Exercice 11. Dans cet exercice on va montrer qu’un sous-groupe G de (ℝ, +) est soit de la forme rℤ avec r ∈ ℝ, soit dense dans ℝ. On suppose G ≠ {0} et on pose r = inf(G ∩ ℝ_{+}^{∗}).

a. On suppose que la borne inférieure r est atteinte.

(i) En écrivant a ∈ G sous la forme a = kr + x avec x ∈ [0, r[, montrer que G = rℤ.

(ii) Montrer que G est fermé dans ℝ. b. On suppose que la borne inférieure r n’est pas atteinte. On fixe ϵ > 0.

(i) Montrer qu’il existe a, b ∈ G ∩ ℝ_{+}^{∗} tels que |a − b| < ϵ.

(ii) Soit x ∈ ℝ. Montrer qu’il existe c ∈ G tel que |x − c| < ϵ. Conclure.

Exercice 12. (partiel 2011-2012) On considère l’ensemble X = [0, 1[. On note d(x, y) = |x − y| la distance induite sur X par la distance usuelle de ℝ. On pose par ailleurs

d_{∘}(x, y) = min(d(x, y), 1 − d(x, y)).

a. Soit x, y, z ∈ X. Montrer que d_{∘}(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), puis que d_{∘}(x, z) ≤ (1 − d(x, y)) + d(y, z). On admet que de même d_{∘}(x, z) ≤ d(x, y) + (1 − d(y, z)) et que d_{∘}(x, z) ≤ (1 − d(x, y)) + (1 − d(y, z)).

b. Montrer que d_{∘} est une distance sur X.

c. On considère la suite x_{n} = 1 − \frac{1}{n} ∈ X.

Montrer que lim x_{n} = 0 relativement à d_{∘}. Les distances d et d_{∘} sont-elles équivalentes ? d. On considère maintenant une suite quelconque d’éléments x_{n} ∈ X.

(i) Montrer que si lim x_{n} = x relativement à d, alors lim x_{n} = x relativement à d_{∘}.

(ii) Cette question est plus difficile.

Montrer que si lim x_{n} = x relativement à d_{∘}, avec x ≠ 0, alors lim x_{n} = x relativement à d.