Université de Caen 1^{er} semestre 2011-2012 UFR Sciences Mathématiques L3 Maths Espaces métriques

Espaces compacts et connexes

Exercice 1. Dire si les sous-ensembles suivants de ℝ^{2} sont compacts, en justifiant la réponse :

A = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} − y^{2} − 2xy ≤ 1},
B = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} + 3e^{xy} ≤ 1},
C = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 2 cos(x) + 2 sin(x) > 3}.

Exercice 2. On munit M_{n}(ℝ) de la norme ∥(m_{ij})∥ = max |m_{ij}|. On considère l’ensemble O_{n} ⊂ M_{n}(ℝ) des matrices orthogonales n × n.

a. Montrer que pour toute matrice (m_{ij}) ∈ O et tout (i, j) on a |m_{ij}| ≤ 1.

b. Montrer que O est compact.

Est-ce plus facile en utilisant une autre norme sur M_{n}(ℝ) ?

Exercice 3. Soit E un espace métrique. On considère une suite décroissante (K_{n})_{n} de compacts non vides de E, c’est-à-dire telle que K_{n+1} ⊂ K_{n} pour tout n. On note K = ⋂_{n} K_{n} et on fixe un ouvert O tel que K ⊂ O. On souhaite montrer la propriété (P) suivante : il existe n tel que K_{n} ⊂ O.

a. Soit (x_{n})_{n} ∈ E^{ℕ} telle que ∀n x_{n} ∈ K_{n} et x_{n} → x ∈ E. Montrer que x ∈ K.

b. Écrire la propriété (non P) en langage formalisé, sans utiliser le symbole ⊄.

c. Démontrer (P) par l’absurde. On pourra remarquer que tous les K_{n} sont inclus dans le compact K_{0}.

d. Expliquer pourquoi on a montré en particulier que K est non vide.

Exercice 4. Soit E un espace vectoriel normé. On note S = {v ∈ E | ∥v∥ = 1} la sphère unité de E, et B = {v ∈ E | ∥v∥ ≤ 1} la boule unité fermée.

a. Montrer que si B est compacte, S est aussi compacte.

b. On veut montrer la réciproque : on suppose S compacte, et on fixe une suite (v_{n})_{n} quelconque à valeurs dans B. (i) Montrer qu’il existe φ : ℕ → ℕ s-croissante telle que la suite (∥v_{φ(n)}∥)_{n} converge. (ii) Montrer que (v_{n})_{n} admet une valeur d’adhérence dans B.

Exercice 5. On considère l’ensemble X = [0, 1]^{ℕ} des suites à valeurs dans [0, 1], considérées comme fonctions de ℕ dans [0, 1]. Pour deux éléments u, v ∈ X on pose d_{∞}(u, v) = sup_{k∈ℕ} |u(k) − v(k)|. On note δ_{n} l’élément de X défini comme suit :

δ_{n}(k) = \{ \begin{matrix}1 & si k = n \\ 0 & sinon. \end{matrix}

a. Calculer d_{∞}(δ_{n}, δ_{m}) pour tous n, m.

b. La suite (δ_{n})_{n} ∈ X^{ℕ} peut-elle admettre une sous-suite de Cauchy ?

c. Montrer que X n’est pas compact.

d. Soit E l’espace vectoriel normé des suites réelles bornées, muni de la norme du sup.

Montrer que les boules fermées de E ne sont pas compactes.

Exercice 6. On considère l’ensemble X = [0, 1]^{ℕ} des suites à valeurs dans [0, 1], considérées comme fonctions de ℕ dans [0, 1]. Pour deux éléments u, v ∈ X on pose

d(u, v) = ∑_{k=0}^{+∞} \frac{|u(k) − v(k)|}{2^{k}}.

On considère une suite (u_{n})_{n} d’éléments de X. On rappelle qu’on peut constuire des applications s-croissantes φ_{k} : ℕ → ℕ telles que, pour tout p, les sous-suites de (u_{n}(0))_{n}, ..., (u_{n}(p))_{n} associées à φ_{0} ∘ ⋯ ∘ φ_{p} convergent. On pose ψ(n) = φ_{0} ∘ ⋯ ∘ φ_{n}(n) pour tout n.

a. On fixe k ∈ ℕ. Montrer que (ψ(n))_{n≥k} est une suite extraite de (φ_{0} ∘ ⋯ ∘ φ_{k}(n))_{n}. En déduire que les suites extraites (u_{ψ(n)}(k))_{n} convergent pour tout k.

b. Montrer que la suite (u_{ψ(n)})_{n} ∈ X^{ℕ} converge vers un élément de X au sens de d.

En déduire que (X, d) est compact.

Exercice 7. Applications du théorème d’approximation de Weierstraß.

a. Soit f : [a, b] → ℝ une fonction intégrable dont tous les moments m_{n}(f) = ∫_{a}^{b} f(t)t^{n}dt, n ∈ ℕ, sont nuls. (i) Montrer que ∫_{a}^{b} f(t)P (t)dt = 0 pour tout polynôme P. (ii) Montrer que si f est un polynôme, f = 0. (iii) Montrer que si f est continue, f = 0.

b. Soit f : ℝ_{+} → ℝ une fonction continue bornée, et Lf : ℝ_{+}^{∗} → ℝ sa transformée de Laplace définie par

(Lf)(s) = ∫_{0}^{+∞} f(t)e^{−st}dt.

On suppose qu’il existe s_{0} > 0 tel que (Lf)(s_{0} + n) = 0 pour tout n ∈ ℕ.

(i) Montrer que ∫_{0}^{1} u^{s_{0}+n−1}f(− ln u)du = 0 pour tout n.

(ii) En déduire que f = 0.

Exercice 8. On note C ⊂ ℝ^{2} le cercle trigonométrique.

a. Rappeler pourquoi C est compact et connexe.

b. Montrer que pour tout P ∈ C, C \ {P } est connexe.

c. Montrer qu’il n’existe pas d’injection continue f : C → ℝ.

On pourra observer que f(C) est nécessairement de la forme [a, b]. d. Montrer qu’il n’existe pas de bijection continue de ℝ^{2} dans ℝ.

Donner un exemple d’application continue surjective de ℝ^{2} dans ℝ. e. Soit f : ℝ^{2} → ℝ surjective continue. On fixe a ∈ ℝ et on pose A = f^{−1}({a}).

(i) Soit B une boule fermée de ℝ^{2}. Que peut-on dire sur la nature topologique de f(B) ? de f(^{c}B) ? (ii) Expliciter l’ensemble f(^{c}A). En déduire, par l’absurde, que A n’est pas borné.

Exercice 9. On munit M_{n}(𝕂) d’une norme quelconque. On note GL_{n}(𝕂) ⊂ M_{n}(𝕂) le sous-ensemble des matrices inversibles.

a. Rappeler comment on montre que GL_{n}(𝕂) est ouvert.

b. Montrer que GL_{n}(ℝ) n’est pas connexe, par la même méthode.

c. Montrer que le complémentaire de GL_{n}(ℝ) dans M_{n}(ℝ) est connexe.

On montrera que toute matrice M ∉ GL_{n}(ℂ) est reliée à 0_{n} par un arc de matrices non inversibles. d. Montrer que GL_{n}(ℂ) est connexe.

On montrera que toute matrice M ∈ GL_{n}(ℂ) est reliée à I_{n} par un arc dans GL_{n}(ℂ).

Exercice 10. On construit deux sous-ensembles C, C′ ⊂ [0, 1] de la manière suivante. Si I = [a, b] est un intervalle compact de ℝ, on définit

T (I) = [a, a + \frac{1}{3}(b − a)] ⊔ [a + \frac{2}{3}(b − a), b] .

Si A = ⨆ I_{k} est une réunion disjointe d’intervalles compacts, on pose T (A) = ⋃ T (I_{k}), qui est encore une réunion disjointe d’intervalles compacts. On définit alors C_{n} = T^{n}([0, 1]) et C = ⋂_{n} C_{n}. Par ailleurs on considère X = {0, 1, 2}^{ℕ_{∗}} et on définit π : X → [0, 1] en posant

π((a_{k})_{k}) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{a_{k}}{3^{k}} .

On pose alors C′ = π(Y), où Y = {0, 2}^{ℕ_{∗}} ⊂ X. Remarquons que π est injective sur Y. On note enfin F : ℝ → [0, 1[ l’application « partie fractionnaire ».

a. (i) Représenter C_{1}, C_{2}, C_{3}.

(ii) Montrer par récurrence que 3 · C_{n} = C_{n−1} ∪ (2 + C_{n−1}). (iii) Montrer par récurrence que π(Y) ⊂ C_{n} pour tout n. (iv) Montrer par récurrence que F (3^{n−1} · C_{n}) ⊂ C_{1}. En déduire que C ⊂ π(Y).

On a donc C = C′ : cet ensemble est appelé ensemble de Cantor.

b. Montrer que C est infini et non dénombrable.

c. Montrer que C est un compact de ℝ. Montrer que C est complet.

Donner une distance sur Y qui rende Y compact. Comparer avec l’exercice 6. d. Montrer que Leb(C) = 0, où Leb est la mesure de Lebesgue. e. Soit x < y deux éléments de C. Montrer qu’il existe z ∈ ]x, y[ tel que z ∉ C.

En déduire que C est totalement discontinu. On peut montrer que tout espace compact totalement discontinu est homéomorphe à un sous-ensemble fermé de C. Exercice 11. Rappelons qu’une fonction f : [0, 1] → ℝ est dite lipschitzienne s’il existe une constante C telle que |f(x)−f(y)| ≤ C|x−y| pour tous x, y ∈ [0, 1]. On note alors Lip(f) la plus petite constante C convenable, c’est-à-dire

Lip(f) = sup_{x≠y} \frac{|f(x) − f(y)|}{|x − y|}.

On considère l’espace E des fonctions lipschitziennes de [0, 1] dans ℝ et nulles en 0.

a. Montrer que Lip est une norme sur E.

b. Montrer que pour f ∈ E on a ∥f∥_{∞} ≤ Lip(f).

c. Soit (f_{n})_{n} une suite de Cauchy dans (E, Lip).

Montrer que (f_{n})_{n} converge uniformément vers une fonction f : [0, 1] → ℝ. d. Soit (f_{n})_{n} une suite d’éléments de E qui converge simplement vers une fonction f : [0, 1] → ℝ.

On suppose que Lip(f_{p} − f_{q}) ≤ L pour p fixé et q assez grand. Montrer que Lip(f_{p} − f) ≤ L et que f ∈ E. e. Montrer que (E, Lip) est un espace de Banach.