Algèbres enveloppantes quantifiées :

Théorie élémentaire des représentations de U_{q}(𝔰𝔩_{2}(ℂ))

Notes d’exposé, Roland Vergnioux, 11-18 juin 2008

1 Contexte classique

Soit G un groupe de Lie compact, réel, connexe et simplement connexe. L’espace des champs de vecteurs invariants à gauche sur G, muni du crochet de Lie des champs de vecteurs, est l’algèbre de Lie 𝔊_{ℝ} de G. On note 𝔊 l’algèbre de Lie complexifiée, c’est une algèbre de Lie semi-simple complexe.

Soit T 𝔊 l’algèbre tensorielle construite sur 𝔊, on note U = U(𝔊) le quotient de T 𝔊 par l’idéal bilatère engendré par les éléments xy − yx − [x, y] avec x, y ∈ 𝔊. C’est l’algèbre enveloppante de 𝔊, elle vérifie la propriété universelle suivante :

\xymatrix{𝔊 \ar[r]^{i} \ar[dr] & U \ar@{.>}[d]^{∃!} \\  & U′}

où les flêches pleines sont des morphismes d’algèbres de Lie, tandis que la flêche verticale est un morphisme d’algèbres unifère. On montre que l’application canonique i : 𝔊 → U(𝔊) est injective.

Soit Rep_{G} la catégorie des représentations de G sur les ℝ-espaces vectoriels de dimension finie. Elle est munie de la structure monoïdale donnée par g · (v⊗w) = (g · v)⊗(g · w). Soit Rep_{𝔊} la catégorie des représentations d’algèbres de Lie sur les ℂ-espaces vectoriels de dimension finie. Elle est munie de la structure monoïdale donnée par x · (v⊗w) = (x · v)⊗w + v⊗(x · w). Soit enfin Rep_{U} la catégorie des U-modules de dimension finie. Elle est munie de la structure monoïdale qui provient de la structure de cogèbre sur U donnée par Δ(x) = x⊗1 + 1⊗x, pour tout x ∈ 𝔊. Notons que U est en fait une algèbre de Hopf, pour la co-unité et l’antipode données par les formules ϵ(x) = 0 et S(x) = −x, pour tout x ∈ 𝔊. L’existence de Δ, ϵ et S est assurée par la propriété universelle de U. Cette algèbre de Hopf est cocommutative : on a σ ∘ Δ = Δ, où σ : x⊗y → y⊗x est la volte.

Le foncteur de Lie permet d’associer à toute représentation (G → GL(V)) dans Rep_{G} une représentation (𝔊 → L(V_{ℂ})) ∈ Rep_{𝔊}, et cela définit en fait une équivalence de catégories monoïdales (grâce à la simple connexité de G). La propriété universelle permet d’associer à toute représentation V de 𝔊 une représentation (U → L(V)) ∈ Rep_{U}, et on obtient clairement une nouvelle équivalence de catégories monoïdales.

Prenons G = SU(2). Alors 𝔊_{ℝ} = {A ∈ M_{2}(ℂ) | TrA = 0, A^{∗} = A} et 𝔊 = 𝔰𝔩_{2}(ℂ) = {A ∈ M_{2}(ℂ) | TrA = 0}, munies du crochet de Lie usuel. On considère la base suivante de 𝔊 :

X = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , Y = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , H = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ,

qui engendre par définition l’algèbre U(𝔰𝔩_{2}(ℂ)). On vérifie facilement les égalités [X, Y] = H, [H, X] = 2X, [H, Y] = −2Y, et on peut montrer que U(𝔰𝔩_{2}(ℂ)) est en fait présentée par X, Y, H et ces relations.

Concernant la théorie des représentations, on montre qu’il existe un système de représentants des U-modules simples {V_{n} | n ∈ ℕ} tel que dim V_{n} = n + 1, V_{n}^{∗} ≃ V_{n} et

V_{n}⊗V_{m} ≃ V_{n+m} ⊕ V_{n+m−2} ⊕ ⋯ ⊕ V_{|n−m|}.

La volte σ est un isomorphisme entre V ⊗W et W ⊗V pour tous V, W — c’est le cas pour toute catégorie des représentations d’un groupe ou d’une algèbre de Hopf cocommutative.

2 Définition

On sait donner, dans le cas général d’une algèbre de Lie semi-simple complexe 𝔊, une présentation de U(𝔊) en fonction de la « matrice de Cartan » (a_{ij}) et des « longueurs des racines » (d_{i}) associées à 𝔊. Si (α_{i}) est une base d’un système de racines de 𝔊, on a les formules

a_{ij} = \frac{2(α_{i}|α_{j})}{∥α_{i}∥^{2}} et d_{i} = ∥α_{i}∥^{2},

relativement à un produit scalaire invariant tel que min(d_{i}) = 1. Notons que a_{ij} = 0 si d_{i} ≠ d_{j}. Ici les indices varient entre 1 et r, le rang de 𝔊. On a a_{ii} = 2, a_{ij} ∈ {0, −1, −2, −3} pour i ≠ j et d_{i} ∈ {1, 2, 3}.

Alors l’algèbre enveloppante U = U(𝔊) est engendrée par 3r éléments H_{i}, X_{i}, Y_{i} qui sont dans 𝔊, et les relations

[H_{i}, H_{j}] = 0, [X_{i}, Y_{j}] = δ_{ij}H_{i},
[H_{i}, X_{j}] = a_{ij}X_{j}, [H_{i}, Y_{j}] = −a_{ij}Y_{j},
ad(X_{i})^{1−a_{ij}}(X_{j}) = 0, ad(Y_{i})^{1−a_{ij}}(Y_{j}) = 0 si i ≠ j.

Notons que les deux dernières relations (relations de Serre) s’écrivent [X_{i}, X_{j}] = [Y_{i}, Y_{j}] = 0 lorsque a_{ij} = 0. La formule du binôme donne

ad(X_{i})^{1−a_{ij}}(X_{j}) = ∑_{k=0}^{1−a_{ij}}(−1)^{k}\binom{1 − a_{ij}}{k}X_{i}^{1−a_{ij}−k}X_{j}X_{i}^{k}.

Soit q ∈ ℂ \ {0} qui n’est pas une racine de l’unité. Dans la définition suivante on utilise les q-nombres, q-factorielles et q-coefficients binômiaux donnés par :

[n]_{q} = \frac{q^{n} − q^{−n}}{q − q^{−1}} , [n]_{q}! = [n_{q}][n − 1]_{q} ⋯ [1]_{q}, \binom{n}{k}_{q} = \frac{[n]_{q}!}{[k]_{q}![n − k]_{q}!}.

On a [1]_{q} = [1]_{q}! = [0]_{q}! = 1. Si q est une racine de l’unité (q ≠ 1, −1), les nombres [n]_{q} et [n]_{q}! sont bien définis pour tout n ∈ ℕ mais peuvent être nuls. Cependant même dans ce cas on dispose des q-coefficients binômiaux, définis par exemple par récurrence via la q-formule de Pascal.

Définition 2.1 Soit 𝔊 une algèbre de Lie semi-simple complexe. On note r le rang de 𝔊, (a_{ij}) la matrice de Cartan associée à 𝔊, (d_{i}) les longueurs des racines. Soit q ∈ ℂ \ {0} tel que q^{2d_{i}} ≠ 1 pour tout i.

On note U_{q}(𝔊) la ℂ-algèbre unifère engendrée par 3r éléments E_{i}, F_{i}, K_{i}, avec K_{i} inversible pour tout i et les relations suivantes :

K_{i}K_{j} = K_{j}K_{i}, [E_{i}, F_{j}] = δ_{ij} \frac{K_{i} − K_{i}^{−1}}{q_{i} − q_{i}^{−1}} ,

K_{i}E_{j}K_{i}^{−1} = q_{i}^{a_{ij}}, K_{i}F_{j}K_{i}^{−1} = q_{i}^{−a_{ij}}F_{j},

∑_{k=0}^{1−a_{ij}}(−1)^{k}\binom{1 − a_{ij}}{k}_{q_{i}}E_{i}^{1−a_{ij}−k}E_{j}E_{i}^{k} = 0 si i ≠ j,

ainsi que la relation analogue à la dernière obtenue en remplacant les E par des F. Remarquons que ces deux dernières relations s’écrivent [E_{i}, E_{j}] = [F_{i}, F_{j}] = 0 lorsque a_{ij} = 0.

Dans les articles fondateurs de Drinfeld et Jimbo, la deuxième relation fait apparaître des carrés : [E_{i}, F_{j}] = δ_{ij}(K_{i}^{2} − K_{i}^{−2})/(q_{i}^{2} − q_{i}^{−2}). Cela ne modifie pas de manière essentielle les résultats qui seront exposés dans la suite.

Pour se convaincre que U_{q}(𝔊) est effectivement une déformation de U(𝔊), on fait tendre q vers 1 en posant q = e^{h}, K_{i} = e^{hd_{i}H_{i}}, E_{i} = X_{i}, F_{i} = Y_{i}. Alors

K_{i}E_{j}K_{i}^{−1} = X_{j} + hd_{i}[H_{i}, X_{j}] + o(h), q_{i}^{a_{ij}}E_{j} = X_{j} + hd_{i}a_{ij}X_{j} + o(h),

\frac{K_{i} − K_{i}^{−1}}{q_{i} − q_{i}^{−1}} = H_{i} + o(1), [n]_{q_{i}} = n + o(1),

donc les relations de la définition redonnent, au premier ordre non nul, les relations classiques de U(𝔊). De même la structure de Hopf de la proposition suivante redonne la structure classique lorsque q → 1.

On peut rendre ce raisonnement heuristique rigoureux en travaillant avec une présentation en termes de H_{i}, X_{i}, Y_{i} et des séries formelles en h.

Proposition 2.2 Les formules suivantes définissent une structure d’algèbre de Hopf sur U_{q}(𝔊) :

\begin{matrix}Δ(E_{i}) = 1⊗E_{i} + E_{i}⊗K_{i}, & ϵ(E_{i}) = 0, \\ Δ(F_{i}) = F_{i}⊗1 + K_{i}^{−1}⊗F_{i}, & ϵ(F_{i}) = 0, \\ Δ(K_{i}) = K_{i}⊗K_{i}, & ϵ(K_{i}) = 1, \end{matrix}

S(E_{i}) = −E_{i}K_{i}^{−1}, S(F_{i}) = −K_{i}F_{i}, S(K_{i}) = K_{i}^{−1}.

Preuve. Il faut vérifier que les formules définissent bien un morphisme Δ, un caractère ϵ et un antimorphisme S, en vérifiant par exemple que E_{i} = Δ(E_{i}), F_{i} = Δ(F_{i}) et K_{i} = Δ(K_{i}) vérifient dans U_{q}(𝔊)⊗U_{q}(𝔊) les relations de définition de U_{q}(𝔊). Le calcul est assez technique dans le cas des relations de Serre, et utilise des propriétés des q-coefficients binômiaux. Ensuite les axiomes des algèbres de Hopf sont immédiats à vérifier sur E_{i}, F_{i} et K_{i}, et n’utilisent pas les relations de définition de U_{q}(𝔊). ■

3 Représentations de U_{q}(𝔰𝔩_{2}(ℂ))

Dans le cas de 𝔰𝔩_{2} on a r = 1, a_{11} = 2, d_{1} = 1. Ainsi, pour q ∉ {−1, 0, 1} l’algèbre U_{q} = U_{q}(𝔰𝔩_{2}) est engendrée par E, F, K avec K inversible et les relations

KEK^{−1} = q^{2}E, KF K^{−1} = q^{−2}F,  (1)
[E, F] = \frac{K − K^{−1}}{q − q^{−1}} .  (2)

Soit V un U_{q}-module, on note encore E, F, K les images des générateurs dans L(V). Pour λ ∈ ℂ on note V^{λ} ⊂ V le sous-espace propre de K associé à λ. On dit que v est un vecteur de poids λ si v ≠ 0 et v ∈ V^{λ}. On dit que v ≠ 0 est un vecteur de plus haut poids (resp. de plus bas poids) si v est un vecteur propre de K et Ev = 0 (resp. F v = 0).

Dans tout ce qui suit on suppose que q n’est pas une racine de l’unité, et tous les modules sont supposés de dimension finie, sauf précision contraire.

Lemme 3.1 Tout U_{q}-module non nul contient un vecteur de plus haut poids.

Preuve. Comme ℂ est algébriquement clos, K admet un vecteur propre v, et la valeur propre λ associée est non nulle car K est inversible. D’après (1) on a EV^{λ} ⊂ V^{q^{2}λ}, donc pour tout n on a E^{n}v ∈ V^{q^{2n}λ}. Comme q n’est pas une racine de l’unité et λ ≠ 0, les nombres q^{2n}λ sont deux-à-deux distincts. Comme K ne peut pas avoir une infinité de valeurs propres, la suite (E^{n}v) est nulle à partir d’un certain rang. Son dernier terme non nul est un vecteur de plus haut poids. ■

En particulier tout U_{q}-module simple est engendré par un vecteur de plus haut poids. On peut décrire très précisément les modules engendrés par un vecteur de plus haut poids.

Proposition 3.2 Soit V un U_{q}-module engendré par un vecteur de plus haut poids v. Alors le poids de v vaut ±q^{n}, où dim V = n+1. De plus il existe une base (v = v_{0}, v_{1}, …, v_{n}) de V dans laquelle on a, en posant v_{−1} = v_{n+1} = 0 :

Kv_{k} = ±q^{n−2k}, F v_{k} = [k + 1]_{q}v_{k+1}, Ev_{k} = ±[n − k + 1]_{q}v_{k−1}. (3)

Preuve. Soit λ le poids de v. Comme q n’est pas une racine de l’unité, on peut poser v_{k} = (F^{k}v)/[k]_{q}!. En faisant le même raisonnement que pour la preuve du lemme, on voit que v_{k} ∈ V^{q^{−2k}λ} pour tout k, et que la suite (v_{k}) est nulle à partir d’un certain rang. Soit v_{p} le dernier terme non nul. Comme les v_{k} avec 0 ≤ k ≤ p sont des vecteurs propres de K associés à des valeurs propres distinctes, on a p ≤ n.

Les formules donnant F v_{k} et Kv_{k} résultent immédiatement de la définition de v_{k}, si on admet la valeur de λ. Calculons Ev_{k} à l’aide de (2) :

[k]_{q}Ev_{k} = EF v_{k−1} = F Ev_{k−1} + \frac{K − K^{−1}}{q − q^{−1}} v_{k−1}

= F Ev_{k−1} + \frac{λq^{−2(k−1)} − λ^{−1}q^{2(k−1)}}{q − q^{−1}} v_{k−1}.

Une récurrence immédiate montre que Ev_{k−1} est un multiple de v_{k−2}, et on trouve

Ev_{k} = \frac{λq^{−k+1} − λ^{−1}q^{k−1}}{q − q^{−1}} v_{k−1},

ce qui donne la formule annoncée si on admet la valeur de λ.

Ces formules montrent en particulier que le sous-espace engendré par v_{0}, …, v_{p} coïncide avec le sous-module engendré par v = v_{0}. Par hypothèse, (v_{i}) est donc une base de V et p = n. Enfin, la formule pour Ev_{n+1}, qui vaut 0, donne λq^{−n} − λ^{−1}q^{n} = 0, et on a donc bien λ = ±q^{n}. ■

Corollaire 3.3 Un U_{q}-module est simple ssi il est engendré par un vecteur de plus haut poids, qui est alors unique à un multiple scalaire près. Deux modules simples sont isomorphes ssi les poids correspondants sont égaux. L’ensemble des poids ainsi associés aux modules simples de dimension finie est {±q^{n} | n ∈ ℕ}.

Preuve. Soit V un module engendré par un vecteur de plus haut poids v. La proposition montre les vecteurs de plus haut poids de V sont les multiples de v. Soit W ⊂ V un sous-module. D’après le lemme, W admet un vecteur de plus haut poids w. C’est aussi un vecteur de plus haut poids de V, donc un multiple de v, qui engendre V. On a donc W = V, et V est simple.

Il est clair que les poids correpondants à deux modules simples isomorphes sont égaux. Inversement si deux modules simples ont des poids égaux, ils ont la même dimension et les formules (3) montrent qu’il existe un isomorphisme envoyant un vecteur de plus haut poids du premier sur un vecteur de plus haut poids du second.

Enfin pour montrer qu’il existe un sous-module simple de poids ±q^{n}, on prend V = ℂv_{0} ⊕ ⋯ ⊕ ℂv_{n} et on définit l’action de E, F et K par les formules (3). Il reste alors à vérifier que ces applications linéraires vérifient les relations (1) et (2), ce qui est un exercice facile. ■

Remarquons qu’on peut construire pour tout λ ∈ ℂ^{∗} un U_{q}-module de dimension infinie engendré par un vecteur de plus haut poids λ : on pose V (λ) = ℂ^{(ℕ)}, on appelle (v_{i})_{i∈ℕ} la base canonique, et on définit l’action de E, F, K par les formules

Kv_{k} = λq^{−2k}v_{k}, F v_{k} = \frac{q^{k+1}−q^{−k−1}}{q−q^{−1}} v_{k}, Ev_{k} = \frac{λq^{−k+1}−λ^{−1}q^{k−1}}{q−q^{−1}} v_{k−1}.

Lorsque λ n’est pas de la forme ±q^{n} avec n ∈ ℕ, le « module de Verma quantique » V (λ) est irréductible et de dimension infinie. Lorsque λ = ±q^{n}, le module V (λ) admet un unique sous-module non trivial U_{q} · v_{n+1} ≃ V (±q^{−n−2})

— en particulier il n’est pas semi-simple — et le quotient correspondant est isomorphe au module simple de dimension finie de plus haut poids ±q^{n}.

Si on prend la variante « avec carrés » de la relation (2) pour la définition de U_{q}(𝔰𝔩_{2}), les résultats ci-dessus restent valables avec les modifictions suivantes : les poids sont de la forme i^{k}q^{n}, et il y a donc 4 modules simples non isomorphes de dimension n + 1, pour tout n ∈ ℕ.

En utilisant le même genre de techniques, on démontre le résultat important suivant :

Théorème 3.4 Si q n’est pas une racine de l’unité, tout U_{q}-module de dimension finie est somme de modules simples.

Nous admettrons ce résultat — on pourrait aussi convenir pour la suite de travailler dans la catégorie des modules semi-simples de dimension finie.

4 Règles de fusion

Rappelons que U_{q}(𝔰𝔩_{2}) est munie d’une structure d’algèbre de Hopf définie par les formules ϵ(E) = ϵ(F) = 0, ϵ(K) = 1 et

Δ(E) = 1⊗E + E⊗K, Δ(F) = F ⊗1 + K^{−1}⊗F, Δ(K) = K⊗K,
S(E) = −EK^{−1}, S(F) = −KF, S(K) = K^{−1}.

On définit également un caractère η : U_{q} → ℂ en posant η(E) = η(F) = 0 et η(K) = −1.

Pour tout n ∈ ℕ on note V_{±,n} un U_{q}-module simple de plus haut poids ±q^{n}. On pose également V_{+,n} = V_{n}, V_{+,0} = ℂ_{ϵ} et V_{−,0} = ℂ_{η}. Notons que les modules V_{±,0} sont bien de dimension 1, avec des représentations données par ϵ et η. On fixe des vecteurs non nuls 1 ∈ ℂ_{ϵ}, 1 ∈ ℂ_{η}.

On a ℂ_{η}⊗V_{±,n} ≃ V_{±,n}⊗ℂ_{η} ≃ V_{∓,n} pour tout n. En effet, soit v ∈ V_{±,n} de plus haut poids, alors 1⊗v engendre ℂ_{η}⊗V_{±,n} et on a

E · (1⊗v) = Δ(E)(1⊗v) = 1⊗Ev + E1⊗Kv = 0,
K · (1⊗v) = Δ(K)(1⊗v) = K1⊗Kv = ∓q^{n}(1⊗v).

Fixons des bases (v_{i}), (v′_{i}) de V_{±,n} et V_{∓1,n} comme à la proposition 3.2. Alors un isomorphisme entre ℂ_{η}⊗V_{±1,n} (resp. V_{±,n}⊗ℂ_{η}) et V_{∓1,n} est donné par (1⊗v_{i} ↦ (−1)^{i}v′_{i}) (resp. (v_{i}⊗1 ↦ v′_{i})). En effet on a

Δ(F) = F ⊗1 + K^{−1}⊗F = \{ \begin{matrix}−(id⊗F) sur ℂ_{η}⊗V_{±,n} \\ (F ⊗id) sur V_{±,n}⊗ℂ_{η}. \end{matrix}

Pour donner les règles de fusion de U_{q}(𝔰𝔩_{2}) il reste à déterminer la décomposition de V_{n}⊗V_{m} en modules simples.

Proposition 4.1 On a V_{n}⊗V_{m} ≃ V_{n+m} ⊕ V_{n+m−2} ⊕ ⋯ ⊕ V_{|n−m|}.

Preuve. Comme la formule est valable dans le cas classique, et que les dimensions des V_{n} sont les mêmes que dans le cas classique, il suffit de montrer ⊃, et donc il suffit de trouver un vecteur de plus haut poids q^{n+m−2p} dans V_{n}⊗V_{m}, pour tout p = 0, 1, …, min(n, m).

Soit (v_{i}), (w_{i}) des bases de V_{n}, V_{m} vérifiant les propriétés de la proposition 3.2. Comme Δ(K) = K⊗K, les vecteurs v_{i}⊗w_{p−i} sont de poids q^{n−2i}q^{m−2p+2i} = q^{n+m−2p} pour tout p ≤ min(n, m) et tout i ≤ p. En particulier, la combinaison linéaire suivante est encore de poids q^{n+m−2p} :

x = ∑_{i=0}^{p} α_{i}(v_{i}⊗w_{p−i}) avec

α_{i} = (−1)^{i} \frac{[m − p + i]_{q}![n − i]_{q}!}{[m − p]_{q}![n]_{q}!} q^{−i(m−2p+i+1)}.

Vérifions que x est un vecteur de plus haut poids. On a Δ(E) = 1⊗E+E⊗K donc, en utilisant les expressions de E et K dans les bases (v_{i}), (w_{i}) :

E · x = ∑_{i=0}^{p} α_{i}([m − p + i + 1]_{q} (v_{i}⊗w_{p−i−1})+
[n − i + 1]_{q} q^{m−2p+2i} (v_{i−1}⊗v_{p−i}))
= ∑_{i=0}^{p}(−1)^{i} \frac{[m−p+i+1]_{q}![n−i]_{q}!}{[m−p]_{q}![n]_{q}!} q^{−i(m−2p+i+1)} (v_{i}⊗w_{p−i−1}) −

∑_{i=0}^{p}(−1)^{i−1} \frac{[m−p+i]_{q}![n−i+1]_{q}!}{[m−p]_{q}![n]_{q}!} q^{−(i−1)(m−2p+i)} (v_{i−1}⊗w_{p−i}).

Comme v_{−1} = 0 et w_{−1} = 0, les deux sommes sont égales. ■

Proposition 4.2 On a V_{±,n}^{∗} ≃ V_{±,n} pour tout (ϵ, n).

Preuve. Rappelons que (x · ϕ)(x) = ϕ(S(x)v) pour tout x ∈ U_{q}, ϕ ∈ V^{∗}, v ∈ V. Soit (v_{i}) une base de V vérifiant les propriétés de la proposition 3.2 et (ϕ_{i}) la base duale. Il est immédiat de vérifier que ϕ_{n} est un vecteur de plus haut poids ±q^{n}. ■

5 Tressage

Les règles de fusion montrent que V_{±,n}⊗V_{±′,m} et V_{±′,m}⊗V_{±,n} sont isomorphes pour tous n, m. Il s’ensuit qu’on a V ⊗W ≃ W ⊗V pour tous modules V, W de dimension finie. Cependant ce n’est pas la volte σ qui réalise l’isomorphisme, car U_{q} n’est pas cocommutative. On va montrer qu’on peut toutefois réaliser ces isomorphismes par un tressage.

On trouve dans la littérature la formule pour la « R-matrice universelle » suivante, qui induit le tressage de la catégorie des représentations :

R = ( ∑_{n=0}^{∞} \frac{(1 − q^{2})^{n}}{[n_{q}]!} q^{−n(n−1)/2} (Y^{n}⊗X^{n})) × e^{− \frac{h}{2} H⊗H},  (4)

toujours avec les relations heuristiques E = X, F = Y, K = e^{hH}, q = e^{h}. Mais, outre le fait que cette formule n’a pas de sens dans un cadre purement algébrique, l’élément R vit dans une algèbre « plus grande » que U_{q}(𝔰𝔩_{2}), à cause du dernier facteur exponentiel. On adopte ici une autre approche pour montrer que la catégorie des représentations de U_{q}(𝔰𝔩_{2}) est tressée — et on montre qu’en fait, seule une sous-catégorie naturelle l’est.

On dit qu’un U_{q}-module est de type 1 (resp. −1) s’il se décompose en somme de modules simples et de plus haut poids positifs (resp. négatifs). Il résulte clairement de la section 4 que les modules de type 1 forment une sous-catégorie monoïdale stricte de la catégorie des U_{q}-modules de dimension finie.

On fixe pour la suite une racine carrée de q, qu’on utilise pour donner un sens aux puissances de la forme q^{k/2}, avec k ∈ ℤ.

Lemme 5.1 Le module V ⊗W est engendré par les vecteurs de la forme v⊗w, où v est un vecteur de plus bas poids et w est un vecteur de plus haut poids.

Preuve. On peut supposer que V et W sont simples. En effet, écrivons des décompositions en modules simples : V = ⨁ V_{i} et W = ⨁ W_{j}. On a alors V ⊗W = ⨁ V_{i}⊗W_{j}, or chaque V_{i} contient des vecteurs de plus bas poids, et chaque W_{j}, des vecteurs de plus haut poids.

Lorsque V et W sont simples de poids respectifs ±q^{m} et ±′q^{n}, on dispose de bases (v_{i})_{0≤i≤m}, (w_{j})_{0≤j≤n} dans lesquelles E, F, K s’expriment par les formules (3), et on peut supposer v = v_{m}, w = w_{0}. Soit X le sous-module engendré par v⊗w. On a

E · (v_{p}⊗w) = v_{p}⊗Ew + Ev_{p}⊗Kw = 0 + q^{n}[m − p + 1]_{q} v_{p−1}⊗w,

donc v_{p}⊗w ⊂ X pour tout p, par récurrence descendante sur p. Puis on a

F · (v_{p}⊗w_{q}) = F v_{p}⊗w_{q} + K^{−1}v_{p}⊗F w_{q}
= [p + 1]_{q} v_{p+1}⊗w_{q} ± q^{m−2p}[q + 1]_{q} v_{p}⊗w_{q+1}.

Une récurrence sur q montre donc que ∀p v_{p}⊗w_{q} ∈ X. ■

La formule (4) appliquée à un vecteur v⊗w, avec v de plus bas poids et w de plus haut poids, se simplifie considérablement : on a en effet Y v = Xw = 0 et (H⊗H)(v⊗w) = mn si v, w sont de poids q^{m}, q^{n}. On est donc amené à la proposition suivante :

Proposition 5.2 Pour tous U_{q}-modules V, W de dimension finie et de type 1 il existe un unique isomorphisme σ = σ_{V,W} : V ⊗W → W ⊗W tel que

σ(v⊗w) = q^{−mn/2}(w⊗v)

pour tous vecteurs v de plus bas poids q^{m} et w de plus haut poids q^{n} (on a donc m ≤ 0 et n ≥ 0). De plus la formule ci-dessus est valable pour tous vecteurs v, w de poids q^{m}, q^{n} tels que v est de plus bas poids ou w est de plus haut poids.

Preuve. L’unicité résulte clairement du lemme. Si l’existence est vraie dans V ⊗W et V′⊗W, elle est vraie dans (V ⊕ V′)⊗W : en effet les vecteurs de plus bas poids de V ⊕ V′ sont les sommes v + v′ de vecteurs de plus bas poids de V et V′ qui ont le même poids. Ainsi on peut supposer que V et W sont irréductibles. Mais dans ce cas l’existence est immédiate : en effet les vecteurs v, w sont alors uniques à un scalaire près, et on sait déjà qu’on a V ⊗W ≃ W ⊗V grâce aux règles de fusion.

Pour généraliser la formule au cas ou v n’est pas de plus bas poids, on peut de même supposer que V et W sont irréductibles de poids q^{m}, q^{n} et on applique E^{p} des deux côtés. On a

E^{p} · (v⊗w) = E^{p}v⊗K^{p}w = q^{pn}(E^{p}v⊗w) et
E^{p} · (w⊗v) = w⊗E^{p}v,

donc σ(E^{p}v⊗w) = (q^{−mn/2}/q^{pn})(w⊗E^{p}v) = q^{−(m+2p)n/2}(w⊗E^{p}v), or E^{p}v engendre la droite des vecteurs de poids q^{m+2p}. De même pour le cas où w n’est pas de plus haut poids, on applique F^{p} des deux cotés :

F^{p} · (v⊗w) = K^{−p}v⊗F^{p}w = q^{−pm}(v⊗F^{p}w) et
F^{p} · (w⊗v) = v⊗F^{p}w,

donc σ(v⊗F^{p}w) = (q^{−mn/2}/q^{−pm})(F^{p}w⊗v) = q^{−m(n−2p)/2}(F^{p}w⊗v), or F^{p}w engendre la droite des vecteurs de poids q^{n−2p}. ■

Proposition 5.3 Les isomorphismes σ_{V,W} ci-dessus définissent un tressage sur la catégorie des U_{q}-modules de dimension finie et de type 1.

Preuve. La naturalité des σ_{V,W} résulte du fait que les notions de poids sont conservées par morphisme. Plus précisément, soit f : V → V′ et g : W → W′ des morphismes, d’après le lemme 5.1 il suffit de vérifier l’égalité (g⊗f)σ_{V,W} = σ_{V′,W′}(f⊗g) sur les vecteurs de la forme v⊗w avec v ∈ V de plus bas poids q^{m}, w ∈ W de plus haut poids q^{n}. Posons v′ = f(v), w′ = f(w), alors v′ est un vecteur de plus bas poids q^{m}, et w′ est un vecteur de plus haut poids q^{n}. Par définition on a donc σ_{V,W} (v⊗w) = q^{−nm/2}(w⊗v) et σ_{V′,W′}(v′⊗w′) = q^{−nm/2}(w′⊗v′), et l’égalité à démontrer s’ensuit immédiatement.

Par abus de notation, on omet de noter les morphismes d’associativité de la catégorie des U_{q}-modules — rappelons que ce sont les morphismes usuels de la catégorie des espaces vectoriels. Les deux axiomes hexagonaux se démontrent de la même manière, traitons le cas du premier, qui correspond à la commutativité du diagramme suivant :

\xymatrix{U⊗V ⊗W \ar[r]^{σ_{U,V} ⊗id_{W}} \ar[dr]_{σ_{U,V ⊗W}} & V ⊗U⊗W \ar[d]^{id_{V} ⊗σ_{U,W}} \\  & V ⊗W ⊗U.}

D’après le lemme 5.1, il suffit de montrer la commutativité sur les vecteurs de la forme u⊗x, avec u ∈ U de plus bas poids q^{l}, x ∈ V ⊗W de plus haut poids q^{p}. On a alors σ_{U,V ⊗W} (u⊗x) = q^{−lp/2}(x⊗u), par définition.

Par ailleurs, il existe clairement une base de V ⊗W formée de vecteurs de la forme v⊗w, où v, w sont vecteurs propres de K. Comme Δ(K) = K⊗K, les vecteurs v, w qui interviennent dans la décomposition de x dans cette base ont des poids de la forme q^{m}, q^{n} avec m + n = p. Or on a, pour de tels vecteurs v, w :

(id⊗σ_{U,W})(σ_{U,V} ⊗id)(u⊗v⊗w) = q^{−lm/2}(id⊗σ_{U,W})(v⊗u⊗w)
= q^{−lm/2}q^{−ln/2}(v⊗w⊗u),

car u est un vecteur de plus bas poids, et d’après la proposition 5.2. Il vient donc (id⊗σ_{U,W})(σ_{U,V} ⊗id)(u⊗x) = q^{−lp/2}(x⊗u), ce qui conclut la preuve. ■

6 Compléments

Algèbres de Hecke. Tout tressage induit une représentation du monoïde des tresses à n brins sur la famille d’espaces (V_{f(1)}⊗ ⋯ ⊗V_{f(n)})_{f∈S_{n}}. En particulier on a pour tout n un morphisme ℂB_{n} → End(V_{1}^{⊗n}). Remarquons que les images σ des générateurs du groupe des tresses dans End(V_{1}⊗V_{1}) vérifient des relations additionnelles : en effet on a End(V_{1}⊗V_{1}) = ℂid ⊕ ℂσ, donc on a nécessairement une identité de la forme σ^{2} = a + bσ. Comme application des résultats de la section précédente, calculons a et b.

On note v_{+} un vecteur de plus haut poids de V_{1}, et v_{−} = F v_{+}. La proposition 5.2 donne

σ(v_{−}⊗v_{+}) = q^{1/2}(v_{+}⊗v_{−}),
σ(v_{−}⊗v_{−}) = q^{−1/2}(v_{−}⊗v_{−}), σ(v_{+}⊗v_{+}) = q^{−1/2}(v_{+}⊗v_{+}).

On a par ailleurs

σ(F · (v_{+}⊗v_{+})) = σ(v_{−}⊗v_{+}) + q^{−1}σ(v_{+}⊗v_{−}),

F · σ(v_{+}⊗v_{+}) = q^{−1/2}F · (v_{+}⊗v_{+}) = q^{−1/2}(v_{−}⊗v_{+}) + q^{−3/2}(v_{+}⊗v_{−}).

Comme σ est un morphisme, on en déduit l’identité

σ(v_{+}⊗v_{−}) = q^{−1/2}(q(v_{−}⊗v_{+}) + (1 − q^{2})(v_{+}⊗v_{−})).

On peut alors écrire la matrice de σ dans la base (v_{+}⊗v_{+}, v_{+}⊗v_{−}, v_{−}⊗v_{+}, v_{−}⊗v_{−}) :

Mat σ = q^{−1/2} ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 − q^{2} & q & 0 \\ 0 & q & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

On peut également calculer :

σ^{2}(v_{−}⊗v_{+}) = q^{1/2}σ(v_{+}⊗v_{−}) = q(v_{−}⊗v_{+}) + (1 − q^{2})(v_{+}⊗v_{−}).

On a donc σ^{2} = q id + (1 − q^{2})q^{−1/2}σ, d’après le lemme 5.1. Cela s’écrit encore

τ^{2} = q^{2} + (q^{2} − 1)τ avec τ = −q^{1/2}σ.

Ainsi le morphisme ℂB_{n} → End(V_{1}^{⊗n}) se factorise à travers l’algèbre de Hecke H_{n,q^{2}} de type A_{n−1} avec paramètre q^{2}.

Les calculs précédents permettent également de réaliser V_{1} comme son propre dual, en donnant un morphisme de ℂ_{ϵ} dans V_{1}⊗V_{1}. Pour cela il suffit de diagonaliser σ : on trouve la valeur propre 1, de multiplicité 3, et la valeur propre −q^{2}, de multiplicité 1. Le sous-espace propre associé à −q^{2} est donc isomorphe à ℂ_{ϵ}, il est dirigé par t_{1}(1) = (v_{−}⊗v_{+}) − q(v_{+}⊗v_{−}).

On peut en fait montrer que pour tout n, le morphisme H_{n,q^{2}} → End(V_{1}^{⊗n}) est un isomorphisme (dualité de Schur-Weil quantique). Cela montre que la catégorie tensorielle des représentations de type 1 est engendrée — en un sens à préciser — par l’objet V_{1} et le morphisme σ ∈ End(V_{1}⊗V_{1}), ou encore, par l’objet V_{1} auto-dual via le morphisme t_{1} ∈ Hom(ℂ_{ϵ}, V_{1}⊗V_{1}).

Le fait que les vecteurs (v_{−}⊗v_{+}) − q(v_{+}⊗v_{−}) ∈ V_{1}⊗V_{1} et (v_{−}⊗v_{+})^{∗} − q(v_{+}⊗v_{−})^{∗} ∈ (V_{1}⊗V_{1})^{∗} (relativement à la base duale de (v_{±}⊗v_{±})) soient invariants caractérise ±q^{±1}. En fait ont peut montrer directement qu’on a U_{q}(𝔰𝔩_{2}) ≃ U_{q′}(𝔰𝔩_{2}) en tant qu’algèbres de Hopf ssi q′ = ±q^{±1}.

Un résultat négatif. Le tressage construit à la section précédente sur la sous-catégorie des modules de type 1 ne s’étend pas à la catégorie entière. En fait, il n’existe pas de tressage sur la catégorie des U_{q}-modules de dimension finie.

En effet, supposons qu’on dispose d’un tel tressage σ. Nécessairement V ≃ ℂ_{ϵ}⊗V ⟶^{σ} V ⊗ℂ_{ϵ} ≃ V est un multiple de l’identité, autrement dit on a σ(1⊗v) = λ(v⊗1) pour un certain λ ≠ 0. L’axiome hexagonal ci-dessous dans ℂ_{ϵ}⊗ℂ_{ϵ}⊗V, et la naturalité relativement à ℂ_{ϵ}⊗ℂ_{ϵ} ≃ ℂ_{ϵ}, donnent λ^{2} = λ, donc λ = 1, pour tout V :

\xymatrix{1⊗1⊗v \ar[r]^{λ} \ar[dr]_{λ} & 1⊗v⊗1 \ar[d]^{λ} \\  & v⊗1⊗1.}

D’autre part l’isomorphisme V_{−,1} ≃ ℂ_{η}⊗V_{1} ⟶^{σ} V_{1}⊗ℂ_{η} ≃ V_{−,1} est également un scalaire, notons-le μ. Si (v_{i}) est une base de V_{1} comme à la proposition 3.2, on a donc σ(1⊗v_{i}) = (−1)^{i}μ(v_{i}⊗1) pour tout i. L’application d’un des axiomes hexagonaux à 1⊗1⊗v_{i} ∈ ℂ_{η}⊗ℂ_{η}⊗V_{1}, et la naturalité relativement à ℂ_{η}⊗ℂ_{η} ≃ ℂ_{ϵ}, donnent μ^{2} = 1 :

\xymatrix{1⊗1⊗v_{i} \ar[r]^{(−1)^{i}μ} \ar[dr]_{1} & 1⊗v_{i}⊗1 \ar[d]^{(−1)^{i}μ} \\  & v_{i}⊗1⊗1.}

Enfin, soit w un vecteur directeur de ℂ_{ϵ} ⊂ V_{1}⊗V_{1}. Comme v_{0}, v_{1} sont de poids respectifs q, q^{−1}, le vecteur w est combinaison linéaire des vecteurs v_{i}⊗v_{1−i} avec i = 0, 1. L’application de l’autre axiome hexagonal à 1⊗x ∈ ℂ_{η}⊗V_{1}⊗V_{1}, et la naturalité relativement à ℂ_{ϵ} ↪ V_{1}⊗V_{1}, donnent μ^{2} = −1, donc une contradiction :

\xymatrix{1⊗x \ar[r] \ar[drr]_{1} & 1⊗v_{i}⊗v_{1−i} \ar[r]^{(−1)^{i}μ} & v_{i}⊗1⊗v_{i−1} \ar[d]^{(−1)^{1−i}μ} \\  &  & x⊗1.}

Une involution sur U_{q}(𝔰𝔩_{2}) Supposons que le paramètre q est un réel positif. Alors, U_{q} devient une ∗-algèbre de Hopf pour l’involution (antilinéaire, antimultiplicative) définie comme suit sur les générateurs :

E^{∗} = KF, F^{∗} = EK^{−1}, K^{∗} = K.

Il est en effet immédiat de vérifier que E = KF, F = EK^{−1} et K = K vérifient les relations de présentation de Ū_{q}^{op} — l’espace vectoriel conjugué munit de la multiplication opposée. Par exemple

[F, E] = EK^{−1}KF − KF EK^{−1} = EF − F E = \frac{K − K^{−1}}{q − q^{−1}} = \frac{K − K^{−1}}{q̄ − q̄^{−1}} .

De plus tout U_{q}-module de dimension finie V admet une structure hermitienne invariante, c’est-à-dire pour laquelle on a (v|Xw) = (X^{∗}v|w) pour tous v, w ∈ V et X ∈ U_{q}. En effet, il suffit de le montrer pour les modules simples V_{±,n}. Si (v_{i}) est une base de V_{±,n} comme à la proposition 3.2, on vérifie qu’on peut prendre le produit scalaire qui la rend orthogonale et tel que ∥v_{i}∥^{2} = q^{−i(n−i−1)}\binom{n}{i}_{q} — cette quantité est bien positive si q est positif.

Cela montre que la catégorie des représentations de dimension finie de U_{q}(𝔰𝔩_{2}), et sa sous-catégorie des représentations de type 1, sont des « W^{∗}- catégories monoïdales concrètes et complètes » avec duaux au sens de Woronowicz. On montre que le groupe quantique compact associé à la catégorie des U_{q}-modules de type 1 est SU_{q}(2), pour q ∈ ]0, 1[.