Groupes de réflexions complexes quantiques

Roland Vergnioux, Caen, 6 janvier 2009

L’objectif de l’exposé est de présenter des exemples de groupes quantiques compacts qui ne sont pas des q-déformations à la Jimbo-Drinfeld, et de décrire les règles de fusion pour leurs représentations. On obtient des règles de fusion qui ne sont pas celles de groupes compacts, à la différence de ce qui se passe pour les q-déformations.

Notons que les groupes quantiques compacts universels A_{u}(n), qui sont des « quantifications » (ou « libérations ») de U(n), constituent une telle famille d’exemples. Dans cet exposé on va plutôt partir de groupes finis : les groupes symétriques et certains groupes de réflexions complexes.

Références :

– T. Banica, S.T. Belinschi, M. Capitaine, B. Collins : Free Bessel Laws,

     arxiv:0710.5931

– T. Banica, R. V. : Fusion Rules for Quantum Reflection Groups,

     arxiv:0805.4801

1 Les groupes quantiques de permutations

Soit X_{n} = {1, …, n} et S_{n} = Aut(X_{n}). Identifions S_{n} au sous-groupe des matrices de permutations dans GL(n, ℂ) et considérons les fonctions

a_{ij} : S_{n} → ℂ, σ ↦ σ_{ij} = δ_{i,σj}.

Commes les matrices de permutations prennent leurs entrées dans {0, 1} et ont exactement une entrée non nulle par ligne et par colonne, on a

(∗) \{ \begin{matrix}a_{ij}^{2} = a_{ij} = a_{ij}^{∗} \\ ∑_{k} a_{ik} = ∑_{k} a_{kj} = 1. \end{matrix}

Il est facile de voir que l’algèbre A = C(S_{n}) = ℂ^{S_{n}} est engendrée par les n^{2} éléments a_{ij} ∈ A et les relations (∗) en tant que ℂ-algèbre involutive unifère commutative.

La structure de groupe de S_{n} est reflétée au niveau de A par un coproduit Δ : C(S_{n}) = A → A⊗A ≃ C(S_{n} × S_{n}) défini par la formule Δ(f)(σ, τ) = f(στ). Comme la structure de groupe coïncide avec la multiplication des matrices on a

Δ(a_{ij}) = ∑_{k} a_{ik}⊗a_{kj}.

Définition 1.1 Le groupe quantique de permutations de n points est donné par la ∗-algèbre (ou la C^{∗}-algèbre) unifère A_{s}(n) engendrée par n^{2} éléments a_{ij} et les relations (∗) (sans commutativité), et par le coproduit Δ : A → A⊗A, a_{ij} ↦ ∑ a_{ik}⊗a_{kj}.

On peut se demander en quoi cela définit effectivement un « groupe quantique de permutations ». Remarquons que l’action de S_{n} sur X_{n} se traduit par une coaction de A = C(S_{n}) sur B = C(X_{n}) = ℂ^{n}, c’est-à-dire par un morphisme δ : B → B⊗A donné par δ(f)(i, σ) = f(σi). Soit (e_{i}) la base canonique de B, on a dans notre cas

δ(e_{j}) = ∑_{i} e_{i}⊗a_{ij}.

La même formule définit une coaction de A_{s}(n) sur B. En fait le fait que cette formule définit bien un ∗-morphisme unifère est directement équivalent aux relations (∗). Ainsi (A_{s}(n), Δ) est le groupe quantique d’automorphismes de l’ensemble à n points :

Proposition 1.2 La coaction de A_{s}(n) sur B est universelle parmi les coactions de groupes quantiques compacts sur B. Plus précisément, sur δ′ est une autre coaction d’une C^{∗}-algèbre de Woronowicz (A′, Δ′) sur B, il existe un ∗-morphisme unifère π : A → A′ tel que (π⊗π)Δ = Δ′π et (id⊗π)δ = δ′.

Pour que le sens précis de la proposition précédente soit clair, rappelons le cadre axiomatique :

– une C^{∗}-algèbre est une ℂ-algèbre de Banach et une algèbre involutive telle que ∥a^{∗}∥ = ∥a∥ et ∥a^{∗}a∥ = ∥a∥^{2} pour tout a ∈ A;

– une C^{∗}-algèbre de Woronowicz est une C^{∗}-algèbre unifère A munie

d’un ∗-morphisme unifère Δ : A → A⊗A tel que 1. (Δ⊗id)Δ = (id⊗Δ)Δ : A → A⊗A⊗A,

2. Δ(A)(1⊗A) et Δ(A)(A⊗1) sont denses dans A⊗A.

– une coaction d’une C^{∗}-algèbre de Woronowicz A sur une C^{∗}-algèbre

unifère B est un ∗-morphisme unifère δ : B → B⊗A tel que 1. (δ⊗id)δ = (id⊗Δ)δ : B → B⊗A⊗A,

2. δ(B)(1⊗A) est dense dans B⊗A. Les C^{∗}-algèbres commutatives sont de la forme C(X) où X est un espace localement compact. La C^{∗}-algèbre C(X) est unifère ssi X est compact. Les C^{∗}-algèbres de Woronowicz commutatives sont de la forme C(G) avec G un groupe compact et le coproduit Δ(f)(g, h) = f(gh).

On peut faire les premières remarques suivantes sur A_{s}(n). Il y a une application quotient évidente qui envoie A_{s}(n) sur C(s_{n}), autrement dit « S_{n} est un sous-groupe du groupe quantique compact S_{n}^{+} associé à A_{s}(n) ». On dit que A_{s}(n) est une libération de S(n).

Dans les cas n = 2, 3, on a en fait A_{s}(n) = C(S_{n}), c’est-à-dire que la commutativité résulte automatiquement des relations (∗). En revanche dans le cas n ≥ 4, A_{s}(n) est de dimension infinie — par exemple on a une application surjective vers ℂ(ℤ/2ℤ ∗ ℤ/2ℤ) associée à la matrice

( \begin{matrix}p & 1 − p & 0 & 0 \\ 1 − p & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & q & 1 − q \\ 0 & 0 & 1 − q & q \end{matrix} ) ,

où p, q sont les générateurs des deux copies de ℤ/2ℤ. Ainsi le groupe quantique compact S_{n}^{+} des permutations de 4 points est infini !

2 Les groupes de réflexions complexes quantiques

Rappelons qu’une réflexion complexe est un automorphisme de ℂ^{n} qui agit trivialement sur un hyperplan. Un groupe de réflexions complexes est un sous-groupe fini de GL(n, ℂ) engendré par des réflexions complexes. Ces groupes sont classifiés : on a 34 cas exceptionnels et une série G(m, p, n) où m, p, n sont des entiers naturels non nuls avec p/m.

Le groupe G(m, p, n) est le sous-groupe de GL(n, ℂ) formé par les matrices ayant une seule entrée non nulle sur chaque ligne et chaque colonne, et dont les entrées non nulles sont des racines m^{es} de l’unité dont le produit est une racine (m/p)^{e} de l’unité.

On a G(1, 1, n) = S(n). On peut poser la question générale de « quantifier », ou « libérer », tous les groupes de réflexions complexes. Une réponse est apportée dans [BBCC] dans le cas de H^{s}(n) := G(s, 1, n) — ce qui inclut les groupes de Coxeter de type A_{n} (s = 1, groupes symétriques) et B_{n} = C_{n} (s = 2, groupes hyperoctaédraux). La question générale est encore ouverte.

Définition 2.1 A_{h}^{s}(n), pour s, n ∈ ℕ^{∗}, est la C^{∗}-algèbre unifère engendrée par n^{2} générateurs u_{ij} et les relations suivantes :

(+) \{ \begin{matrix}u = (u_{ij}) et ū = (u_{ij}^{∗}) unitaires, \\ les u_{ij} sont des isométries partielles, \\ ∀i, j u_{ij}^{s} = u_{ij}^{∗}u_{ij}. \end{matrix}

C’est une C^{∗}-algèbre de Woronowicz pour le coproduit Δ : u_{ij} ↦ ∑ u_{ik}⊗u_{kj}.

Rappelons qu’une isométrie partielle dans une ∗-algèbre est un élément x tel que x^{∗}x et xx^{∗} sont des idempotents — le support initial et le support final de x. Lorsque de plus x^{s} = x^{∗}x on a automatiquent x^{∗}x = xx^{∗}. Dans le cas de ℂ les tels éléments x sont les racines s^{es} de l’unité, et l’unitarité de u impose qu’une seule entrée par ligne et par colonne peut être non nulle. Autrement dit le quotient commutatif maximal de A_{h}^{s}(n) est C(H^{s}(n)), A_{h}^{s}(n) est une libération de H^{s}(n).

Remarquons que si t/s on a une flêche surjective évidente A_{h}^{s}(n) → A_{h}^{t}(n) qui envoie les générateurs sur les générateurs. En particulier A_{h}^{1}(n) est un quotient de A_{h}^{s}(n) pour tout s, et il est facile de voir que A_{h}^{1}(n) est isomorphe à A_{s}(n). En effet quand s = 1 les u_{ij} sont simplement des projections ; par ailleurs la matrice (a_{ij}) des générateurs de A_{s}(n) est unitaire : la relation ∑_{k} a_{ik} = 1 entraîne, sachant que les a_{ij} sont des projections, a_{ik}a_{il} = 0 pour k ≠ l et on a donc ∑_{i} a_{ik}a_{il} = 0 pour k ≠ l. En particulier A_{h}^{s}(n) est de dimension infinie pour n ≥ 4.

Le groupe quantique compact associé à A_{h}^{s}(n) peut être vu comme un groupe de transformations agissant sur ns points. Donner une coaction de A_{h}^{s}(n) sur B = ℂ^{ns} est équivalent à donner un morphisme π : A_{s}(ns) → A_{h}^{s}(n), soit encore, à donner (ns)^{2} éléments A_{ij}^{pq} ∈ A_{h}^{s}(n) qui vérifient les relations (∗) — ici les indices i, j varient dans {1, …, n} et p, q, dans {1, … s}. On vérifie que

A_{ij}^{pq} = \frac{1}{s} ∑_{r=0}^{s−1} w^{r(p−q)}u_{ij}^{r}

conviennent, où w = e^{2iπ/s} et u_{ij} sont les générateurs de A_{h}^{s}(n). En fait on peut dire beaucoup plus :

Proposition 2.2 La flèche A_{s}(ns) → A_{h}^{s}(n) ci-dessus est surjective, et son noyau est engendré par les entrées de la matrice [a, Σ], où a = (a_{ij}) est la matrice des générateurs de A_{s}(ns) et Σ est la matrice suivante :

Σ = ( \begin{matrix}0 & I_{n} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & I_{n} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & I_{n} \\ I_{n} & 0 & 0 & … & 0 \end{matrix} ) .

Autrement dit A_{h}^{s}(n) est isomorphe au quotient de A_{s}(ns) obtenu en demandant que la matrice des générateurs commute à Σ. Or Σ est la matrice d’incidence du graphe formé de n copies disjointes du cycle orienté à s sommets : ainsi A_{h}^{s}(n) est le groupe quantique compact de symétries de ce graphe. Notons que H^{s}(n) est le groupe de symétries « classique » de ce graphe. On en déduit également une présentation de A_{h}^{s}(n) à l’aide d’un « produit en couronne libre » : A_{h}^{s}(n) ≃ C(ℤ/sℤ)∗_{w} A_{s}(n), qui est l’analogue de l’isomorphisme classique H^{s}(n) ≃ ℤ/sℤ ≀_{n} S_{n}.

3 Représentations

Il est naturel d’étudier les catégories de représentations des groupes quantiques compacts introduits précédemment. En premier lieu, on cherche à déterminer les règles de fusion.

Dans le contexte quantique, le rôle des représentations est joué par les coreprésentations des C^{∗}-algèbres de Woronowicz. Pour une telle algèbre (A, Δ), une coreprésentation unitaire u sur un espace de Hilbert de dimension finie H ≃ ℂ^{n} est un élément unitaire de L(H)⊗A ≃ M_{n}(A) tel que (id⊗Δ)(u) = u_{12}u_{13} ∈ L(H)⊗A⊗A, ce qui s’écrit aussi matriciellement Δ(u_{ij}) = ∑ u_{ik}⊗u_{kj}.

En particuler les matrices des générateurs de A_{s}(n) et A_{h}^{s}(n) sont des coreprésentations, dites fondamentales, par définition du coproduit. Dans le cas de A_{h}^{s}(n) il est facile de vérifier que les matrices u_{k} = (u_{ij}^{k}) sont aussi des coreprésentations pour tout k ∈ ℕ^{∗}. Notons également que 1 = id_{ℂ}⊗1_{A} est toujours une coreprésentation sur ℂ, dite triviale.

Théorème 3.1 Pour n ≥ 4 les coreprésentations irréductibles de A_{h}^{s}(n) sont indexées par les mots sur ℤ/sℤ de manière à ce que

r_{∅} = 1, u_{k} = rk̄ pour 1 ≤ k < s, u_{s} = rs̄ ⊕ r_{∅},

et de manière à ce qu’on ait les règles de fusion récursives suivantes, où x, y sont des mots et i, j des lettres :

r_{xi}⊗r_{jy} = \{ \begin{matrix}r_{xijy} ⊕ r_{x(i+j)y} si i + j ≠ 0, \\ r_{xijy} ⊕ r_{x(i+j)y} ⊕ (r_{x}⊗r_{y}) sinon. \end{matrix}

En particulier on voit que les règles de fusion ne sont pas commutatives dès que s ≥ 2. Pour s = 1 on a les règles de fusion de A_{s}(n) qui sont les même que celles de SO(3).

Idée de la preuve. Modulo des techniques standard dans les anneaux de fusion, il suffit de montrer que la dimension de

E(i, j) := Hom(u_{i_{1}}⊗ ⋯ ⊗u_{i_{k}}, u_{j_{1}}⊗ ⋯ ⊗u_{j_{l}})

est égale à celle prédite par les règles de fusion de l’énoncé. Pour cela on donne une description combinatoire de ces espaces en termes de partitions non-croisées.

Pour deux multi-indices i, j de longueurs k, l à valeurs dans {1, …, n} notons NC(i, j) l’ensemble des partitions non croisées de la suite de points (1, i_{1}), (2, i_{2}), …, (k, i_{k}), (k + 1, j_{1}), …, (k + l, i_{l}). Les points sont ordonnés par leur première coordonnée et on appelle indice d’un point sa deuxième coordonnée.

On introduit le sous-ensemble NC_{s}(i, j) ⊂ NC(i, j) des partitions telle que la somme des indices des points dans chaque bloc est nulle modulo s. On démontre alors l’identité

(†) dim E(i, j) = #NC_{s}(i, j)

et un calcul combinatoire montre que ce sont bien les dimensions prédites par les règles de fusion de l’énoncé.

Plus précisément on démontre (†) de la manière suivante. Pour toute partition p ∈ NC(i, j) et tous multi-indices α, β de longueurs k, l, remplaçons les indices des points de p par les indices de α, β. On pose p(α, β) = 1 si les indices obtenus dans chaque bloc de p sont tous égaux, et p(α, β) = 0 sinon, et on introduit l’application T_{p} ∈ L(ℂ^{nk}, ℂ^{nl}) dont la matrice dans la base canonique est (p(α, β)). Alors le point principal de l’étude est de montrer que

E(i, j) = Vect{T_{p} | p ∈ NC_{s}(i, j)}.

Finalement on conclut grâce à l’indépendance linéaire des applications T_{p} quand p varie dans NC(i, j), qui est vérifiée pour n ≥ 4 et provient de la théorie des algèbres de Temperly-Lieb.