KK-théorie et produits croisés

par un groupe quantique

Roland Vergnioux vergniou@math.jussieu.fr

6 mars 2002

Notations [Baaj, Skandalis]

V ∈ L(H ⊗H) régulier, irréductible (H sép.)

▶ S_{r} et Ŝ_{r}, C^{∗}-alg. de Hopf bisimplifiables Si V de type compact : projecteur sur la triviale

p = (id⊗h)(V) ∈ Ŝ_{r}.

A, B : C^{∗}-algèbres S_{r}-équivariantes. S_{r}-algèbre : δ_{A} injective et simplifiable.

E : B-module hilbertien S_{r}-équivariant δ_{E}

▶ X_{E} ∈ L_{B}(E ⊗_{δ_{B}}(B ⊗ S_{r}), E ⊗S_{r}), δ_{K(E)} δ_{B} triviale ^{▶} X_{E} ∈ L_{B}(E ⊗H) repr. de V :

X_{12} X_{13} V_{23} = V_{23} X_{12} ^{▶} Ŝ_{X}.

Représentation covariante π : A → L_{B}(E) tq

δ_{E}(π(a)ζ) = (π⊗id)δ_{A}(a) · δ_{E}(ζ) ▶ (π⊗id)δ_{A}(a) = X(π(a)⊗1)X^{∗} qd δ_{B} triviale.

KK-Théorie S-équivariante [Kasparov, Baaj, Skandalis]

Définition (E, π, F) ∈ 𝔼_{S_{r}}(A, B) : ▶ E de type dénombrable, ℤ/2ℤ-gradué ▶ π : A → L_{B}(E) covariante de degré 0 ▶ F élément de degré 1 de L_{B}(E) ▶ [π(A), F] ⊂ K_{B}(E) ▶ π(A)(F^{2} − 1) et π(A)(F − F^{∗}) ⊂ K_{B}(E) ▶ (π(A)⊗S_{r})(F ⊗1 − δ_{K(E)}(F)) ⊂ K_{B}(E)⊗S_{r} Homotopie : induite par 𝔼_{S_{r}}(A, B[0, 1]) et les évaluations en 0 et 1 ^{▶} KK_{S_{r}}(A, B).

Proposition (stabilisation) V de type compact, H = ℓ^{2}(ℕ). On a

E ⊕ (A⊗H ⊗H) ≃ (A⊗H ⊗H).

Produits croisés

Définition δ_{B} triviale, X repr. sur E, π : A → L_{B}(E) covariante non dég. :

A ⋊ Ŝ_{π} = \overline{Vect} \{π(a)s | a ∈ A, s ∈ Ŝ_{X}\}.

Exemples E_{r} = A⊗H, π_{r} = δ_{A}, X_{r} = 1⊗V ^{▶} A ⋊ Ŝ_{r}. (E_{p}, π_{p}, X_{p}) «universelle» ^{▶} A ⋊ Ŝ_{p}. On note λ_{A} : A ⋊ Ŝ_{p} → A ⋊ Ŝ_{r}, λ = λ_{ℂ}.

Définition Coactions de Ŝ_{r} et Ŝ_{p} sur ▶ A ⋊ Ŝ_{r} : δ̂_{r,r}^{A}, δ̂_{r,p}^{A} injectives, simplifiables. ▶ A ⋊ Ŝ_{p} : δ̂_{p,r}^{A}, δ̂_{p,p}^{A} simplifiables. ▶ et aussi δ̂′ : A ⋊ Ŝ_{r} → M̃((A ⋊ Ŝ_{p})⊗Ŝ_{r}).

Applications de descente

Proposition On pose E ⋊ Ŝ_{π} = E ⊗_{B}(B ⋊ Ŝ_{π}) (π = r ou p).

1. K_{B⋊Ŝ_{π}}(E ⋊ Ŝ_{π}) ≃ K_{B}(E) ⋊ Ŝ_{π}.

2. Si (E, π, F) ∈ 𝔼_{S_{r}}(A, B) alors (E ⋊ Ŝ_{π}, π ⋊ id, F ⋊ 1) ∈ 𝔼(A ⋊ Ŝ_{π}, B ⋊ Ŝ_{π}).

3. ^{▶} morphismes j_{r} et j_{p} en KK-théorie.

Points fixes

Définition Soit W = (U ⊗1)V (U ⊗1), on pose δ_{E⊗H} : ζ ⊗ξ ↦ (W (ξ⊗1))_{23} δ_{E}(ζ)_{13} . Proposition

1. ϕ ∈ L_{B}(E, F) ^{▶} ψ = X_{F} (ϕ⊗_{δ_{B}}id)X_{E}^{∗} ∈ L_{B}(E ⊗H, F ⊗H) est équivariant.

2. On a A ⋊ Ŝ_{r} ⊂ L_{A}(A⊗H)^{S_{r}}. Proposition

1. V de type discret ^{▶} (A ⋊ Ŝ_{r})Ŝ_{r} = π_{r}(A).

2. V de type compact, A S_{r}-algèbre ▶ A ⋊ Ŝ_{r} = K_{A}(A⊗H)^{S_{r}}.

Définition V de type compact. L’égalité 2. induit un isomorphisme

Φ : L_{A}(A⊗H ⊗H)^{S_{r}} ⟶^{∼} L_{A⋊Ŝ_{r}}((A ⋊ Ŝ_{r})⊗H),

et le triplet (A⊗H, id, 0) définit un élément β ∈ KK_{S_{r}}((A ⋊ Ŝ_{r})_{triv}, A).

Théorème de Green-Julg

Théorème B S_{r}-algèbre, δ_{A} triviale, V de type compact.

1. Φ induit un isomorphisme Φ_{∗} : KK_{S_{r}}(A, B) → KK(A, B ⋊ Ŝ_{r}).

2. On a Φ_{∗} = f^{∗} ∘ j_{r}, avec f : A → A ⋊ Ŝ_{r} = A⊗S_{r}, a ↦ a⊗p.

3. On a Φ_{∗}^{−1}(x) = h_{∗}(x)⊗β, avec h : ℂ → S_{r}, λ ↦ λ1.

Proposition δ_{B} triviale. On a un morphisme canonique :

Ψ : KK_{S_{r}}(A, B) → KK(A ⋊ Ŝ_{p}, B).

V de type discret ^{▶} Ψ isomorphisme.

K-Moyennabilité

Théorème On a iv ⇒ iii ⇒ ii ⇒ i : i. ∃ α ∈ KK(Ŝ_{r}, ℂ) λ^{∗}(α) = [ε̂_{p}]. ii. [λ] ∈ KK(Ŝ_{p}, Ŝ_{r}) est inversible. iii. ∀ A [λ_{A}] ∈ KK(A⋊Ŝ_{p}, A⋊Ŝ_{r}) est inversible. iv. 11 ∈ KK_{S_{r}}(ℂ, ℂ) est représenté par (E, 1, F)

tq δ_{E} est faiblement contenue dans δ_{r}. Si V est de type discret, iv ⇔ iii ⇔ ii ⇔ i.

Définition On dit que S_{r} est K-moyennable lorsque iv est vérifiée.

Remarque Dans le cas discret, j_{p} ∘ τ_{A} = δ̂_{pp}^{A ∗} ∘ τ_{A⋊Ŝ_{p}} ∘ Ψ

[δ̂′]⊗_{S_{r}}α est l’inverse de [λ_{A}].