Graphes de Cayley des groupes quantiques libres et KK-théorie

Roland Vergnioux vergniou@math.jussieu.fr

Groupes quantiques compacts exemple des groupes discrets [Woronowicz]

31 mars 2003 S C^{∗}-algèbre de Woronowicz δ : S → S ⊗S coproduit

Ex. : S = C_{0}(G), G compact,
δ(f)(r, s) = f(rs)
Ex. : S = C^{∗}(Γ), δ(g) = g⊗g

coreprésentation de dim. finie : v ∈ L(H_{v})⊗S tq (id⊗δ)(v) = v_{12} v_{13} v ⊕ v′, v⊗v′, v̄, ... ^{▶} catégorie tensorielle C Théorie « de Peter-Weyl » ^{▶} Irr C

Ex. : Irr C ≃ Γ, v_{g} = id_{ℂ}⊗g
v_{g} ⊗v_{g′} = v_{gg′}, v̄_{g} = v_{g^{−1}}

C^{∗}-algèbre duale : Ŝ = ⨁_{s∈Irr C} L(H_{s}) projecteurs centraux minimaux (p_{s})_{s∈Irr C}

Ex. : Ŝ = ⨁ ℂg = C_{0}(Γ), p_{g} = 11_{g} h ∈ S′ état de Haar : (h⊗id)δ = (id⊗h)δ = 1_{S}h ▶ S_{r} ⊂ L(H) image de la représentation GNS ▶ Ŝ ⊂ L(H), p_{r} ∈ L(H) proj. orth.

Ex. : h(g) = δ_{g,e}, H = ℓ^{2}(Γ) C_{0}(Γ) ⊂ L(H) multiplication C_{r}^{∗}(Γ) ⊂ L(H) repr. régulière p_{g} proj. orth. sur 11_{g} ∈ ℓ^{2}(Γ)

V ∈ L(H ⊗H) unitaire multiplicatif (V_{12} V_{13} V_{23} = V_{23} V_{12} ) U ∈ L(H) unitaire involutif

Ex. : H ⊗H ≃ ℓ^{2}(Γ)

V (f)(g, g′) = f(g, g^{−1}g′) U(f)(g) = f(g^{−1})

Groupes quantiques libres [Wang, Banica]

On fixe Q ∈ GL_{n}(ℂ) avec n ≥ 2.

A_{u}(Q) = C^{∗}(1, u_{i,j} | u et QūQ^{−1} unitaires ) où u = (u_{i,j}) ∈ L(ℂ^{n})⊗A_{u}(Q) et ū = (u_{i,j}^{∗})

▶ Irr C : monoïde libre en u et ū avec, pour v = u ou ū, \overline{rv} = v̄r̄ et rv⊗v̄r′ = rvv̄r′ ⊕ r⊗r′, rv⊗vr′ = rvvr′,

A_{o}(Q) = C^{∗}(1, u_{i,j} | u unitaire, QūQ^{−1} = u)

▶ Irr C ≃ ℕ avec r̄_{k} = r_{k}, r_{1} = u et r_{k} ⊗r_{l} = r_{|k−l|} ⊕ r_{|k−l|+2} ⊕ ⋯ ⊕ r_{k+l} (si QQ̄ ∈ ℂI_{n})

NB : C^{∗}(F_{n}) = C^{∗}(1, u_{i} | ∀ i u_{i} unitaire )

Graphe de Cayley groupes discrets

Données ▶ Γ goupe discret ▶ Δ ⊂ Γ finie, Δ^{−1} = Δ, e ∉ Δ

(ensemble des directions)

Approche simpliciale ▶ 𝔰 = Γ, 𝔞 = {(r, r′) ∈ 𝔰^{2} | ∃ s ∈ Δ r′ = rs} ▶ retournement θ : 𝔞 → 𝔞, (r, r′) ↦ (r′, r) ▶ orientation : 𝔞 = 𝔞_{+} ⊔ θ(𝔞_{+} ) ▶ arêtes géométriques : 𝔞_{g} = 𝔞/{θ(a) ∼ a}

Origine + direction ▶ 𝔰 = Γ, 𝔞 = Γ × Δ ▶ (𝔬, 𝔟) : 𝔞 ↪ 𝔰 × 𝔰, (r, s) ↦ (r, rs) ▶ retournement : θ(r, s) = (rs, s^{−1})

Graphe de Cayley groupes quantiques discrets

Données ▶ groupe quant. discret : S_{r}, (H, V, U), Ŝ, C ▶ p_{1} proj. central de Ŝ : p_{1} = ∑_{r∈D} p_{r} ▶ Up_{1}U = p_{1}, p_{0}p_{1} = 0 ⟺ D̄ = D, 1_{C} ∉ D

Graphe classique associé à (V, p_{1}) ▶ 𝔰 = Irr C, 𝔞 = {(r, r′) ∈ C | ∃ s ∈ D r′ ⊂ r⊗s} ▶ θ bien défini : r′ ⊂ r⊗s ⟺ r ⊂ r′⊗s̄ ▶ structure supplémentaire : arêtes multiples

et colorées par D

Graphe quantique associé à (V, p_{1}) ▶ espaces de Hilbert : H, K = H ⊗p_{1}H ▶ Θ = Σ(1⊗U)V (U ⊗U)Σ, K_{g} = Ker (Θ − id) ▶ O = (id⊗ϵ) et B = O ∘ Θ : K → H ▶ V : K → H ⊗H « extrêmités » NB : Θ^{2} ≠ id

Orientation

Hypothèse Le graphe classique de (V, p_{1}) est un arbre strict ^{▶} origine 1_{C}, orientation montante :

𝔞_{+} = {(r, r′) | d(r′, 1_{C}) = d(r, 1_{C}) + 1} ⊂ 𝔞

Définition ▶ p_{n} = ∑ {p_{r} | d(r, 1_{C}) = n} ▶ p_{⋆+} = ∑_{(r,r′)∈𝔞_{+}} V^{∗}(p_{r} ⊗p_{r′})V, ▶ p_{⋆−} = 1 − p_{⋆+} , p_{+⋆} = Θ^{∗}p_{⋆−}Θ ▶ p_{++} = p_{⋆+} p_{+⋆} , p_{+−} = p_{⋆−}p_{+⋆} , … ▶ K_{++} = p_{++} K espace des arêtes montantes

On pose F_{g}^{∗} = Bp_{++} : K_{g} → H.

Image et noyau de F_{g}^{∗}

On suppose que le graphe classique associé à (V, p_{1}) est un arbre strict.

Proposition B_{|K_{++}} est injectif et son image est (1−p_{0})H. De plus il commute à S_{r} modulo des opérateurs compacts.

Théorème Pour tout n ∈ ℕ (p_{++} + p_{−−})Θ^{n}(p_{++} + p_{−−}) =

= (p_{++} + p_{−−})Θ^{−n}(p_{++} + p_{−−}).

Théorème La restriction de p_{++} à K_{g} est injective et son image est {ζ ∈ K_{++} | p_{+−} Θp_{++} ζ ∈ Im (id − p_{+−} Θp_{+−} )}.

Proposition Le groupe quantique discret associé à V est un produit libre fini de groupes A_{o}(Q_{i}) et A_{u}(Q′_{j}) avec Q_{i}Q̄_{i} ∈ ℂid.

Espace H_{∞} pour A_{o}(Q)

Définition ▶ T = (p_{+−} Θp_{+−} )_{u}, S ≃ p_{+−} Θp_{++}

▶ H_{∞} = lim_{⟶} ((p_{k} ⊗p_{1})K_{+−} , T)

▶ i_{k} : (p_{k} ⊗p_{1})K_{+−} ⟶_{can} H_{∞}, P = ∑ i_{k}(p_{k} ⊗p_{1})

Proposition On suppose que Tr Q^{∗}Q > 2. Alors R = P S : K_{++} → H_{∞} est borné, surjectif, et Ker R = {ξ ∈ K_{++} | Sξ ∈ Im (T − id)}.

K_{g}

p_{++}

K_{++} B (1 − p_{0})H

H_{∞}

R^{∗}

Représentation π_{∞} pour A_{o}(Q)

p_lK_{+−}

a

T ⋯^T p_kK_{+−}

a

T p_{k+1} K_{+−}

a

T ⋯^T H_∞

π_∞(a) K_{+−}

P

K_{+−}

P

⟳ ⧸^K_{+−}

P

H_∞^= ⋯^= H_∞^= H_∞^= ⋯^= ?

Théorème On note φ_{+−} (a) = p_{+−} (a⊗1)p_{+−} pour tout élément a ∈ S ⊂ S_{r}. ▶ Soit ζ ∈ (p_{k} ⊗p_{1})K_{+−} , alors (P φ_{+−} (a)T^{n}ζ)_{n}

converge vers un vecteur π_{∞}(a)(i_{k}ζ) ∈ H_{∞}. ▶ (a ↦ π_{∞}(a)) définit un homomorphisme de

S_{r} dans L(H_{∞}).

Proposition R^{∗} et p_{_{++} |K_{g}} commutent aux représentations de S_{r} modulo les compacts. ▶ F_{g}^{∗}+BR^{∗} définit un élément γ ∈ KKŜ(ℂ, ℂ).