Graphes de Cayley pour les groupes quantiques discrets

Roland Vergnioux vergniou@math.jussieu.fr

9 avril 2003

Groupes quantiques compacts

Objets C^{∗}-algébriques S C^{∗}-algèbre unifère, munie d’un morphisme δ : S → S ⊗S coassociatif et bisimplifiable.

Objets fonctoriels Coreprésentation de dim. finie : v ∈ L(H_{v})⊗S tel que (id⊗δ)(v) = v_{12} v_{13} ▶ catégorie C, prod. tensoriel et conjugaison ▶ Irr C, théorie « de Peter-Weyl » ▶ caractères : dim H_{v} = 1 ^{▶} groupe

Objets hilbertiens Il existe un état h ∈ S^{∗} invariant pour δ. ▶ H = L^{2}(S, h), λ : S → L(H), S_{r} = λ(S) ▶ décomposition H = ⨁_{r∈Irr C} p_{r}H ▶ V ∈ L(H ⊗H) unitaire multiplicatif, ▶ U ∈ L(H) unitaire involutif

Groupes quantiques discrets

Groupe quantique compact associé à Γ (Γ groupe discret) ▶ ∗-algèbre du groupe : ℂΓ = ⨁_{g∈Γ} ℂg ▶ S = C^{∗}Γ, complétion « pleine » de ℂΓ ▶ coproduit : δ(g) = g⊗g

Alors : ▶ Irr C ≃ Γ (v_{g} = id⊗g ∈ L(ℂ)⊗S) ▶ H = ℓ^{2}(Γ), (λ(g)ϕ)(s) = ϕ(g^{−1}s) ▶ S_{r} = C_{r}^{∗}Γ, complétion « réduite » de ℂΓ ▶ p_{r} proj. orth. sur 11_{{r}} ∈ ℓ^{2}(Γ) ▶ V (f)(g, h) = f(g, g^{−1}h), U(f)(g) = f(g^{−1})

Groupes quantiques discrets (interprétation duale du cas général) ▶ S → S_{r} ⊂ L(H) : espace ℓ^{2} et repr. régulière ▶ Irr C : « points » du groupe ▶ ∑_{r∈D} p_{r}, D ⊂ Irr C : projecteur « sur D »

dans l’espace ℓ^{2} du groupe quantique Groupes quantiques libres [Wang, Banica]

Groupe libre

S = C^{∗}(F_{n}) = C^{∗}(1, u_{i} | ∀ i u_{i} unitaire )

Groupe quantique libre unitaire On fixe n ≥ 2 et Q ∈ GL_{n}(ℂ).

A_{u}(Q) = C^{∗}(1, u_{i,j} | u et QūQ^{−1} unitaires ) où u = (u_{i,j}) ∈ L(ℂ^{n})⊗A_{u}(Q) et ū = (u_{i,j}^{∗})

▶ Irr C : monoïde libre en u et ū avec, pour v = u, ū, les règles \overline{rv} = v̄r̄ et rv⊗v̄r′ = rvv̄r′ ⊕ r⊗r′, rv⊗vr′ = rvvr′

Groupe quantique libre orthogonal On suppose de plus que QQ̄ ∈ ℂI_{n}.

A_{o}(Q) = C^{∗}(1, u_{i,j} | u unitaire, QūQ^{−1} = u)

▶ Irr C ≃ ℕ avec r̄_{k} = r_{k}, r_{1} = u et r_{k} ⊗r_{l} = r_{|k−l|} ⊕ r_{|k−l|+2} ⊕ ⋯ ⊕ r_{k+l} Graphe de Cayley groupes discrets

Données ▶ Γ groupe discret ▶ Δ ⊂ Γ finie, Δ^{−1} = Δ, e ∉ Δ

(ensemble des directions)

Approche simpliciale ▶ 𝔰 = Γ, 𝔞 = {(r, r′) ∈ 𝔰^{2} | ∃ s ∈ Δ r′ = rs} ▶ retournement θ : 𝔞 → 𝔞, (r, r′) ↦ (r′, r) ▶ arêtes géométriques : 𝔞_{g} = 𝔞/{θ(a) ∼ a} ▶ orientation : 𝔞 = 𝔞_{+} ⊔ θ(𝔞_{+} )

Origine + direction ▶ 𝔰 = Γ, 𝔞 = Γ × Δ ▶ (𝔬, 𝔟) : 𝔞 ↪ 𝔰 × 𝔰, (r, s) ↦ (r, rs) ▶ retournement : θ(r, s) = (rs, s^{−1})

Graphe de Cayley groupes quantiques discrets

Données ▶ groupe quant. discret : S, C, (H, V, U) ▶ D ⊂ Irr C finie ⟺ p_{1} = ∑_{r∈D} p_{r} ▶ D̄ = D, 1_{C} ∉ D ⟺ Up_{1}U = p_{1}, p_{0}p_{1} = 0

Graphe classique associé à (C, D) ▶ 𝔰 = Irr C, 𝔞 = {(r, r′) ∈ 𝔰^{2} | ∃ s ∈ D r′ ⊂ r⊗s} ▶ θ bien défini : r′ ⊂ r⊗s ⟺ r ⊂ r′⊗s̄ ▶ structure supplémentaire : arêtes multiples

et colorées par D

Graphe quantique associé à (C, D) ▶ espace ℓ^{2} des sommets : H ▶ espace ℓ^{2} des arêtes : K = H ⊗p_{1}H ▶ Θ = Σ(1⊗U)V (U ⊗U)Σ, K_{g} = Ker (Θ − id) ▶ V : K → H ⊗H « extrêmités » ▶ O = (id⊗ϵ)V et B = (ϵ⊗id)V NB : Θ^{2} ≠ id

Orientation dans le cas des arbres

Hypothèse Le graphe classique de (C, D) est un arbre strict ▶ origine 1_{C}, orientation montante :

𝔞_{+} = {(r, r′) | d(r′, 1_{C}) = d(r, 1_{C}) + 1} ⊂ 𝔞

Définition ▶ p_{n} = ∑ {p_{r} | d(r, 1_{C}) = n} ▶ p_{⋆+} = ∑ {V^{∗}(p_{r} ⊗p_{r′})V | (r, r′) ∈ 𝔞_{+} } ▶ p_{⋆−} = 1 − p_{⋆+}

Proposition ▶ p_{+⋆} := Θ^{∗}p_{⋆−}Θ est différent de p_{+⋆} ▶ Θp_{+⋆} (p_{k} ⊗p_{1}) = p_{⋆−}(p_{k+1} ⊗p_{1})Θ,

Θ^{∗}p_{⋆+} (p_{k} ⊗p_{1}) = p_{−⋆}(p_{k+1} ⊗p_{1})Θ^{∗}

Définition ▶ p_{++} = p_{+⋆} p_{⋆+} , p_{+−} = p_{+⋆} p_{⋆−}, … ▶ espace des arêtes montantes : K_{++} = p_{++} K

Opérateur de Julg-Valette

On suppose que le graphe classique associé à (C, D) est un arbre strict.

Définition  F_{g}^{∗} : K_{g} ^{p_{++}} K_{++}  ^{B} H

Théorème

1. B_{|K_{++}} est injectif et son image est (p_{0}H)^{⊥}.

2. p_{++} _{|K_{g}} est injectif et son image est {ζ ∈ K_{++} | p_{+−} Θp_{++} ζ ∈ Im (id−p_{+−} Θp_{+−} )}.

Proposition Le groupe quantique discret associé à V est un produit libre fini de groupes A_{o}(Q_{i}) et A_{u}(Q′_{j}) avec Q_{i}Q̄_{i} ∈ ℂid.

▶ Il suffit d’étudier le cas de A_{o}(Q).

Espace H_{∞} pour A_{o}(Q)

On considère l’arbre de A_{o}(Q) avec QQ̄ ∈ ℂid et Tr Q^{∗}Q > 2. On pose

H_{∞} = lim_{⟶} ((p_{k} ⊗p_{1})K_{+−} , p_{+−} Θp_{+−} ).

Proposition Il existe un opérateur borné R : K_{++} → H_{∞} surjectif et tel que Ker R = p_{++} K_{g}.

K_{g}

p_{++}

K_{++} B (p_{0}H)^{⊥} ⊂ H

H_{∞}

R^{∗}

Théorème L’opérateur F_{g}^{∗}+BR^{∗} de K_{g} ⊕H_{∞} dans H définit un élément γ ∈ KKŜ(ℂ, ℂ).