Graphes de Cayley des groupes quantiques libres

Roland Vergnioux vergniou@math.jussieu.fr

11 juillet 2003

1. Rappels sur les groupes quantiques – groupes quantiques compacts

– groupes quantiques discrets

– exemples : A_{u}(Q), A_{o}(Q)

2. Graphes de Cayley quantiques – graphes de Cayley classiques

– graphes de Cayley quantiques

3. Orientation montante – arêtes montantes

– espace à l’infini

4. Distance à l’origine – le cas classique : F_{n}

– le cas quantique : A_{o}(Q)

Groupes quantiques compacts

Objets C^{∗}-algébriques S C^{∗}-algèbre unifère, munie d’un morphisme δ : S → S ⊗S coassociatif et bisimplifiable.

Objets fonctoriels Coreprésentation de dim. finie : v ∈ L(H_{v})⊗S tel que (id⊗δ)(v) = v_{12} v_{13} ▶ catégorie C, prod. tensoriel et conjugaison ▶ Irr C, théorie « de Peter-Weyl »

Objets hilbertiens Il existe un état h ∈ S^{∗} invariant pour δ.

– H = L^{2}(S, h), λ : S → L(H), S_{r} = λ(S)

– décomposition H = ⨁_{r∈Irr C} p_{r}H

– V ∈ L(H ⊗H) unitaire multiplicatif

– U ∈ L(H) unitaire involutif

Groupes quantiques discrets

Groupe quantique compact associé à Γ (Γ groupe discret)

– ∗-algèbre du groupe : ℂΓ = ⨁_{g∈Γ} ℂg

– S = C^{∗}Γ, complétion « pleine » de ℂΓ

– coproduit : δ(g) = g⊗g

Alors :

– Irr C ≃ Γ (v_{g} = id⊗g ∈ L(ℂ)⊗S)

– H = ℓ^{2}(Γ), (λ(g)ϕ)(s) = ϕ(g^{−1}s)

– S_{r} = C_{r}^{∗}Γ, complétion « réduite » de ℂΓ

– p_{r} proj. orth. sur 11_{{r}} ∈ ℓ^{2}(Γ)

– V (f)(g, h) = f(g, g^{−1}h), U(f)(g) = f(g^{−1})

Groupes quantiques discrets (interprétation duale du cas général)

– S → S_{r} ⊂ L(H) : espace ℓ^{2} et repr. régulière – Irr C : « points » du groupe

– ∑_{r∈D} p_{r}, D ⊂ Irr C : projecteur « sur D » dans l’espace ℓ^{2} du groupe quantique

Groupes quantiques libres

Groupe libre

S = C^{∗}(F_{n}) = C^{∗}(1, u_{i} | ∀ i u_{i} unitaire )

Groupe quantique libre unitaire On fixe n ≥ 2 et Q ∈ GL_{n}(ℂ).

A_{u}(Q) = C^{∗}(1, u_{i,j} | u et QūQ^{−1} unitaires ) où u = (u_{i,j}) ∈ L(ℂ^{n})⊗A_{u}(Q) et ū = (u_{i,j}^{∗})

▶ Irr C : monoïde libre en u et ū avec, pour v = u, ū, les règles \overline{rv} = v̄r̄ et rv⊗v̄r′ = rvv̄r′ ⊕ r⊗r′, rv⊗vr′ = rvvr′

Groupe quantique libre orthogonal On suppose de plus que QQ̄ ∈ ℂI_{n}.

A_{o}(Q) = C^{∗}(1, u_{i,j} | u unitaire, QūQ^{−1} = u)

▶ Irr C ≃ ℕ avec r̄_{k} ≃ r_{k}, r_{1} = u et r_{k} ⊗r_{l} = r_{|k−l|} ⊕ r_{|k−l|+2} ⊕ ⋯ ⊕ r_{k+l} Graphe de Cayley groupes discrets

Données

– Γ groupe discret

– Δ ⊂ Γ finie, Δ^{−1} = Δ, e ∉ Δ (ensemble des directions)

Approche simpliciale

– 𝔰 = Γ, 𝔞 = {(r, r′) ∈ 𝔰^{2} | ∃ s ∈ Δ r′ = rs} – retournement θ : 𝔞 → 𝔞, (r, r′) ↦ (r′, r)

– arêtes géométriques : 𝔞_{g} = 𝔞/{θ(a) ∼ a} – orientation : 𝔞 = 𝔞_{+} ⊔ θ(𝔞_{+} )

Origine + direction

– 𝔰 = Γ, 𝔞 = Γ × Δ

– (𝔬, 𝔟) : 𝔞 ↪ 𝔰 × 𝔰, (r, s) ↦ (r, rs)

– retournement : θ(r, s) = (rs, s^{−1})

Application de Julg-Valette

– (𝔰, 𝔞) arbre muni d’une origine

– 𝔞_{+} : orientation « montante »

– f_{g}^{−1} : 𝔞_{g} _{choix} 𝔞_{+} _{but} 𝔰

Graphe de Cayley groupes quantiques discrets

Données

– groupe quant. discret : S, C, (H, V, U)

– D ⊂ Irr C finie ⟺ p_{1} = ∑_{r∈D} p_{r}

– D̄ = D, 1_{C} ∉ D ⟺ Up_{1}U = p_{1}, p_{0}p_{1} = 0

Graphe classique associé à (C, D)

– 𝔰 = Irr C, 𝔞 = {(r, r′) ∈ 𝔰^{2} | ∃ s ∈ D r′ ⊂ r⊗s} – θ bien défini : r′ ⊂ r⊗s ⟺ r ⊂ r′⊗s̄

– structure supplémentaire : arêtes multiples et colorées par D

Graphe quantique associé à (C, D)

– espace ℓ^{2} des sommets : H

– espace ℓ^{2} des arêtes : K = H ⊗p_{1}H

– Θ = Σ(1⊗U)V (U ⊗U)Σ, K_{g} = Ker (Θ − id)

– V : K → H ⊗H « extrémités »

– O = (id⊗ϵ)V et B = (ϵ⊗id)V NB : Θ^{2} ≠ id

Arêtes montantes

Hypothèse Le graphe classique de (C, D) est un arbre strict ▶ origine 1_{C}, orientation montante :

𝔞_{+} = {(r, r′) | d(r′, 1_{C}) = d(r, 1_{C}) + 1} ⊂ 𝔞

Proposition Dans ce cas le groupe quantique discret associé à V est un produit libre fini de groupes A_{o}(Q_{i}) et A_{u}(Q′_{j}) avec Q_{i}Q̄_{i} ∈ ℂid.

Définition

– p_{n} = ∑ {p_{r} | d(r, 1_{C}) = n}

– p_{⋆+} = ∑ {V^{∗}(p_{r} ⊗p_{r′})V | (r, r′) ∈ 𝔞_{+} }

– p_{+⋆} := Θ^{∗}(1 − p_{⋆+} )Θ ≠ p_{⋆+} !

– p_{⋆−} = 1 − p_{⋆+} , p_{−⋆} = 1 − p_{+⋆}

– p_{++} = p_{+⋆} p_{⋆+} , p_{+−} = ⋯

Espace à l’infini

On considère l’arbre de A_{o}(Q) avec QQ̄ ∈ ℂid et Tr Q^{∗}Q > 2.

Théorème p_{++} _{|K_{g}} est injectif et son image est {ζ ∈ K_{++} | p_{+−} Θp_{++} ζ ∈ Im (id − p_{+−} Θp_{+−} )}.

Définition p_{+−} Θp_{+−} est un « shift » à droite,

on pose H_{∞} = lim_{⟶} ((p_{k} ⊗p_{1})p_{+−} K, p_{+−} Θp_{+−} ).

Théorème Il existe un opérateur borné R : K_{++} → H_{∞} surjectif et tel que Ker R = p_{++} K_{g}.

Corollaire B ∘ (p_{++} + R^{∗}) : K_{g} ⊕ H_{∞} → H définit un élément γ ∈ KK(S_{r}, ℂ) d’indice 1.

Fonction de type négatif sur F_{n}

Cocycle relatif à π : Γ → L(H) : c : Γ → H tel que c(gh) = π(g)c(h) + c(g) ⇔ c(g) = α(g)ξ_{0} − ξ_{0} avec α⃗ = π

Dans l’espace des sommets : Aff {(−1) ^{|g|} δ_{g} | g ∈ Γ} ⊂ ℓ^{2}(Γ) est stable par λ′ ▶ représentation affine de Γ ▶ cocyle c_{H}(g) = (−1)|g| δ_{g} − δ_{e} ∈ H

Dans l’espace des arêtes géométriques : Si (a_{1}, …, a_{k}) est le chemin reliant e à g, on pose c_{2}(g) = ∑ (−1) ^{i} δ_{a_{i}} ∈ K_{g}. (B+O)(c_{2}(g)) = ^{√}2 c_{1}(g) ^{▶} cocycle pour λ′⊗1.

Fonctions de type négatif : φ(g) = ||c(g)||^{2} ▶ φ_{1}(g) = 211_{g≠e} (trivial) ▶ φ_{2}(g) = |g| (intéressant)

Fonction de type négatif sur A_{o}(Q)

S ⊂ S sous-*-algèbre de Hopf dense ε : S → ℂ co-unité, κ : S → S antipode Par ex. : S = ℂΓ ⊂ C^{∗}(Γ), ε(g) = 1, κ(g) = g^{−1}

Proposition (κ^{2} = 1) Soit π : S → L(H) *-repr. et c : S → H linéaire tq c(1) = 0 et c(xy) = π(x)c(y) + ε(y)c(x). Pour x ∈ S on pose δ(x) = ∑ x_{(1)} ⊗x_{(2)} et φ(x) = ∑(c(κ(x_{(1)} )^{∗})|c(x_{(2)} )). Alors

∀x ∈ Ker ε φ(x^{∗}x) ≤ 0.

Théorème (A_{o}(Q), QQ̄ ∈ ℂid, Tr Q^{∗}Q > 2) Alors Ker (B+O) = K_{g}^{⊥} et (B+O)(K_{g}) contient c_{1}(x) = λ′(x)δ_{1} − ε(x)δ_{1} pour tout x ∈ S.

▶ chemins et distance à l’origine dans le graphe de Cayley quantique, déformation de H, ...