Espace des arêtes à l’infini pour les groupes quantiques libres

Roland Vergnioux vergniou@math.uni-muenster.de

20 janvier 2004

1. arbres de Cayley quantiques – groupes discrets : graphes de Cayley – groupes discrets : C^{∗}-algèbres

– groupes quantiques discrets

– groupes quantiques libres

– graphes de Cayley quantiques

– orientation ascendante

2. espaces des arêtes à l’infini, applications Groupes discrets graphes de Cayley

Données

– Γ goupe discret

– Δ ⊂ Γ finie, Δ^{−1} = Δ, e ∉ Δ (ensemble des directions)

Approche simpliciale

– 𝔰 = Γ, 𝔞 = {(r, r′) ∈ 𝔰^{2} | ∃ s ∈ Δ r′ = rs} – retournement θ : 𝔞 → 𝔞, (r, r′) ↦ (r′, r)

– orientation : 𝔞 = 𝔞_{+} ⊔ θ(𝔞_{+} )

– arêtes géométriques : 𝔞_{g} = 𝔞/{θ(a) ∼ a}

Approche directionelle

– 𝔰 = Γ, 𝔞 = Γ × Δ

– (𝔬, 𝔟) : 𝔞 ↪ 𝔰 × 𝔰, (r, s) ↦ (r, rs)

– retournement : θ(r, s) = (rs, s^{−1})

Groupes discrets C^{∗}-algèbres de Hopf

Algèbre des fonctions

– C^{∗}-algèbre Ŝ = C_{0}(Γ)

– coproduit δ̂ : Ŝ → M(Ŝ ⊗Ŝ) = C_{b}(Γ × Γ) δ̂(f) = ((r, r′) ↦ f(rr′))

– projecteurs p_{r} ∈ Ŝ pour r ∈ Γ

Algèbre du groupe

– C^{∗}-algèbre S = C^{∗}(Γ), complétion de ℂΓ – coproduit δ : S → S ⊗S, r ↦ r⊗r

Espace ℓ^{2}

– espace de Hilbert H = ℓ^{2}(Γ)

– représentations S, Ŝ → L(H)

– unitaire multiplicatif V ∈ L(H ⊗H) V (f)(r, r′) = f(r, r^{−1}r′)

– unitaire involutif U ∈ L(H)

U(f)(r) = f(r^{−1})

Groupes quantiques discrets [Woronowicz]

Algèbre du groupe

– C^{∗}-algèbre S unifère et δ : S → S ⊗S

– coassociativité : (id⊗δ) ∘ δ = (δ⊗id) ∘ δ – δ(S)(1⊗S) et δ(S)(S ⊗1) denses dans S ⊗S ▶ catégorie des coreprésentations C (cf. groupes compacts : ⊕, ⊗, Irr C, ...)

Algèbre des fonctions

– C^{∗}-algèbre Ŝ = ⨁_{r∈Irr C} L(H_{r})

– coproduit δ̂ : Ŝ → M(Ŝ ⊗Ŝ)

– projecteurs p_{r} = id_{H_{r}} ∈ Ŝ pour r ∈ Irr C

Espace ℓ^{2}

– espace de Hilbert H

– représentations S, Ŝ → L(H)

– unitaire multiplicatif V ∈ L(H ⊗H)

– unitaire involutif U ∈ L(H)

Exemple « classique dual » Ŝ = C^{∗}(G), S = C_{0}(G), G groupe compact Groupes quantiques libres [Wang, Banica]

On fixe Q ∈ GL_{n}(ℂ) avec n ≥ 2.

Cas classique NB : C^{∗}(F_{n}) = C^{∗}(1, u_{i} | ∀ i u_{i} unitaire )

Version unitaire A_{u}(Q) = C^{∗}(1, u_{i,j} | u et QūQ^{−1} unitaires ) où u = (u_{i,j}) ∈ M_{n}(A_{u}(Q)) et ū = (u_{i,j}^{∗})

▶ Irr C : monoïde libre en u et ū avec ru⊗ūr′ = ruūr′ ⊕ r⊗r′, ru⊗ur′ = ruur′.

Version orthogonale A_{o}(Q) = C^{∗}(1, u_{i,j} | u unitaire, QūQ^{−1} = u)

▶ Irr C ≃ ℕ avec r_{1} = u et, si QQ̄ ∈ ℂI_{n}, r_{k} ⊗r_{l} = r_{|k−l|} ⊕ r_{|k−l|+2} ⊕ ⋯ ⊕ r_{k+l} .

Graphes de Cayley quantiques Définition

Données

– groupe quant. discret : S, Ŝ, C, (H, V, U)

– p_{1} proj. central de Ŝ : p_{1} = ∑_{r∈D} p_{r}

– Up_{1}U = p_{1}, p_{0}p_{1} = 0 ⟺ D̄ = D, 1_{C} ∉ D

Graphe classique associé à (S, p_{1})

– 𝔰 = Irr C, 𝔞 = {(r, r′) ∈ C | ∃ s ∈ D r′ ⊂ r⊗s} – θ bien défini : r′ ⊂ r⊗s ⟺ r ⊂ r′⊗s̄

– structure supplémentaire : arêtes multiples et colorées par D

Graphe quantique associé à (S, p_{1})

– espaces de Hilbert : H, K = H ⊗p_{1}H

– Θ = Σ(1⊗U)V (U ⊗U)Σ, K_{g} = Ker (Θ − id)

– V : K → H ⊗H « extrêmités »

– O = (id⊗ϵ)V, B = (ϵ⊗id)V NB : Θ^{2} ≠ id Orientation ascendante (cas des arbres)

Hypothèse Le graphe classique est un arbre « strict » ▶ origine 1_{C}, orientation montante :

𝔞_{+} = {(r, r′) ∈ 𝔞 | d(r′, 1_{C}) > d(r, 1_{C})}

Proposition Le groupe quantique discret associé à S est un produit libre fini de groupes A_{o}(Q_{i}) et A_{u}(Q′_{j}) avec Q_{i}Q̄_{i} ∈ ℂid.

Définition

– p_{n} = ∑ {p_{r} | d(r, 1_{C}) = n}

– p_{⋆+} = ∑_{(r,r′)∈𝔞_{+}} V^{∗}(p_{r} ⊗p_{r′})V

– p_{⋆−} = 1 − p_{⋆+}

– Θ^{∗}p_{⋆−}Θ ≠ p_{⋆+} ! ! ^{▶} p_{+⋆} = Θ^{∗}p_{⋆−}Θ

– p_{++} = p_{⋆+} p_{+⋆} , p_{+−} = p_{⋆−}p_{+⋆} , …

– K_{++} = p_{++} K espace des arêtes montantes