Groupes quantiques discrets  Groupes discrets

S = c_{0}- ⨁_{α∈I} L(H_{α}), dim H_{α} < ∞ S = alg- ⨁_{α∈I} L(H_{α}) idéal dense

{S = c_{0}(Γ), I = Γ, H_{α} = ℂ \atop S = ℂ^{(Γ)}}

δ : S → M(S⊗S) coassociatif, κ : S → S ε : S → ℂ co-unité (repr. triviale : ε ∈ I)

{δ(a)(α, β) = a(αβ), κ(a)(α) = a(α^{−1}) \atop ε(a) = a(1_{Γ}) (ε = 1_{Γ} ∈ I)}

Poids de Haar h_{L}, h_{R} définis sur S ∀ a ∈ L(H_{α}) h_{L}(a) = m_{α}Tr (F_{α}^{−1}a) et

h_{R}(a) = m_{α}Tr (F_{α}a)

avec F_{α} ∈ L(H_{α})_{+} tq Tr F_{α} = Tr F_{α}^{−1} =: m_{α} h_{L} = h_{R} mesure de comptage sur Γ

(S, δ) unimodulaire : h_{L} = h_{R} ⇔ ∀α F_{α} = id ⇔ κ^{2} = 1 ⇔ ĥ trace

Λ : S → H construction GNS pour h_{R} V ∈ L(H⊗H) unitaire multiplicatif V ∈ M(Ŝ_{r}⊗S) avec Ŝ_{r} = (id⊗L(H)_{∗})(V)^{−} Ŝ_{r} est munie de δ̂, ĥ, ...

H = ℓ^{2}(Γ), H⊗H ≃ ℓ^{2}(Γ × Γ)
V (ξ)(α, β) = ξ(αβ, β)
V = ∑ ρ_{α}⊗11_{α} ∈ M(C_{r}^{∗}(Γ)⊗c_{0}(Γ))
Ŝ_{r} = C_{r}^{∗}(Γ) (algèbre de convolution)
{F(a) = (id⊗h_{R})(V^{∗}(1⊗a)) ∈ Ŝ_{r} pour a ∈ S \atop Ŝ = F(S) ⊂ Ŝ_{r}, ĥ(F(a)^{∗}F(a)) = h_{R}(a^{∗}a)}  F(a) = ∑ a(α)ρ_{α^{−1}}, Ŝ = ℂΓ ⊂ C_{r}^{∗}(Γ)

Dans le cas d’un groupe discret abélien, C_{r}^{∗}(Γ) ≃ C(Γ̂) via α ↦ ⟨ · , α⟩. Alors V = [(α̂, α) ↦ ⟨α̂, α⟩] ∈ C_{b}(Γ̂ × Γ) et F (a) = [α̂ ↦ ∑_{α} a(α)⟨α̂, α^{−1}⟩].

Groupe quantique discret  Groupe compact

S = c_{0}- ⨁_{α∈I} L(H_{α}), dim H_{α} < ∞ ; S = alg- ⨁_{α∈I} L(H_{α}) S = C^{∗}(G), I = Irrep(G)

H_{α} espace de la repr. α

δ : S → M(S⊗S) coassociatif, κ : S → S ε : S → ℂ co-unité (repr. triviale : ε ∈ I)

{δ(U_{g}) = U_{g}⊗U_{g} \atop ε(U_{g}) = 1, κ(U_{g}) = U_{g}^{−1}}

Poids de Haar h_{L}, h_{R} définis sur S ∀ a ∈ L(H_{α}) h_{L}(a) = m_{α}Tr (F_{α}^{−1}a) et

h_{R}(a) = m_{α}Tr (F_{α}a)

avec F_{α} ∈ L(H_{α})_{+} tq Tr F_{α} = Tr F_{α}^{−1} =: m_{α}

h_{L} = h_{R} “trace canonique” de C^{∗}(G)
F_{α} = id, m_{α} = dim H_{α}

Λ : S → H construction GNS pour h_{R} V ∈ L(H⊗H) unitaire multiplicatif V ∈ M(Ŝ_{r}⊗S) avec Ŝ_{r} = (id⊗L(H)_{∗})(V)^{−} Ŝ_{r} = C(G), δ̂(â)(g, h) = â(gh) ĥ mesure de Haar de G (trace)

{F(a) = (id⊗h_{R})(V^{∗}(1⊗a)) ∈ Ŝ_{r} pour a ∈ S \atop Ŝ = F(S) ⊂ Ŝ_{r}, ĥ(F(a)^{∗}F(a)) = h_{R}(a^{∗}a)} pour a ∈ L(H_{α}), F(a) ∈ C(G) est un

coefficient de la repr. α