ℤ/2ℤ ∗ ℤ/3ℤ ab aba  ba a  e′ ab^{−1}  b e  b^{−1}

Théorème (S_{1}, δ_{1}) et (S_{2}, δ_{2}) comoyennables. On considère l’arbre de Bass-Serre du produit libre amalgamé S = S_{1} ∗_{T} S_{2}.

1. L’opérateur but B_{+} de l’orientation montante est une isométrie et son image est de co-dimension 1. (⇒ Fredholm)

2. Il commute aux représentations de S sur H^{0}, H^{1} modulo des opérateurs compacts. (⇒ α = [B_{+} ] ∈ KK(S, ℂ))

3. Ces repr. se factorisent à travers λ.

(⇒ α = λ^{∗}(α′) avec α′ ∈ KK(λ(S), ℂ))

4. On a α = [ε] ∈ KK(S, ℂ).

(⇒ λ_{∗} : K(S) → K(λ(S)) isomorphisme)